Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos^{2} (2 x)$ con $1 - \sin^{2} (2 x)$ .

$(1 - \sin^{2} (2 x)) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Semplifica il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Applica l'identità pitagorica.

$\cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) - 1 = 0$

Passaggio 2.1.2

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Sposta $- 1$ .

$\cos^{2} (2 x) - 1 + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.1.2.2

Riordina $\cos^{2} (2 x)$ e $- 1$ .

$- 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.1.2.3

Riscrivi $- 1$ come $- 1 (1)$ .

$- 1 \cdot 1 + \cos^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.1.2.4

Scomponi $- 1$ da $\cos^{2} (2 x)$ .

$- 1 \cdot 1 - 1 (- \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.1.2.5

Scomponi $- 1$ da $- 1 (1) - 1 (- \cos^{2} (2 x))$ .

$- 1 (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.1.2.6

Riscrivi $- 1 (1 - \cos^{2} (2 x))$ come $- (1 - \cos^{2} (2 x))$ .

$- (1 - \cos^{2} (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.1.3

Applica l'identità pitagorica.

$- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $\sin (2 x)$ da $- \sin^{2} (2 x) + \sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $\sin (2 x)$ da $- \sin^{2} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2.2

Eleva $\sin (2 x)$ alla potenza di $1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $\sin (2 x)$ da $\sin^{1} (2 x)$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1 = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi $\sin (2 x)$ da $\sin (2 x) (- \sin (2 x)) + \sin (2 x) \cdot 1$ .

$\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $\sin (2 x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $\sin (2 x)$ uguale a $0$ .

$\sin (2 x) = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $\sin (2 x) = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (0)$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$2 x = 0$

Passaggio 2.4.2.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 0$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{2}$

Passaggio 2.4.2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

$x = 0$

Passaggio 2.4.2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - 0$

Passaggio 2.4.2.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$2 x = π + 0$

Passaggio 2.4.2.5.1.2

Somma $π$ e $0$ .

$2 x = π$

Passaggio 2.4.2.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = π$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.4.2.6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.4.2.7

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.5

Imposta $- \sin (2 x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $- \sin (2 x) + 1$ uguale a $0$ .

$- \sin (2 x) + 1 = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi $- \sin (2 x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (2 x) = - 1$

Passaggio 2.5.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (2 x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (2 x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (2 x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (2 x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.2.2

Dividi $\sin (2 x)$ per $1$ .

$\sin (2 x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (2 x) = 1$

Passaggio 2.5.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arcsin (1)$

Passaggio 2.5.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.5

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2.5.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.5.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.2.5.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.6

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$2 x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$2 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.1.4.2

Sottrai $π$ da $2 \cdot π$ .

$2 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 2.5.2.7.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.7.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 2.5.2.7.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 2.5.2.8

Trova il periodo di $\sin (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.5.2.8.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 2.5.2.8.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.8.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 2.5.2.8.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 2.5.2.9

Il periodo della funzione $\sin (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (2 x) (- \sin (2 x) + 1) = 0$ vera.

$x = π n, \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Combina $π n$ e $\frac{π}{2} + π n$ in $\frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π n}{2}, \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$