Trigonometria Esempi

$\cos^{2} (x) - 3 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \sin^{2} (x)) - 3 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 2

Sottrai $3 \sin^{2} (x)$ da $- \sin^{2} (x)$ .

$1 - 4 \sin^{2} (x) = 0$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$- 4 \sin^{2} (x) + 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \sin^{2} (x) = - 1$

Passaggio 5

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin^{2} (x) = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \sin^{2} (x) = - 1$ .

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \sin^{2} (x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (x) = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\sin^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 6

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 7

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 7.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 7.3

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 7.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\sin (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 7.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\sin (x) = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 8

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 8.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 8.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 8.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 10.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 10.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 10.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 10.4

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Passaggio 10.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 10.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 10.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 10.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 10.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 10.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 10.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 10.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 10.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 10.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 10.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 11.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 11.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 11.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 11.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 11.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 11.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 11.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 11.6.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 11.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 11.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 13.1

Combina $\frac{π}{6} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{6} + 2 π n$ in $\frac{π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13.2

Combina $\frac{5 π}{6} + 2 π n$ e $\frac{11 π}{6} + 2 π n$ in $\frac{5 π}{6} + π n$ .

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$