Trigonometria Esempi

{cos}^{3} (x) - cos (x) = 0

$\cos^{3} (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 1

Fattorizza

{cos}^{3} (x) - cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

{cos}^{3} (x) - cos (x)

$\cos^{3} (x) - \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

{cos}^{3} (x)

$\cos^{3} (x)$ .

cos (x) {cos}^{2} (x) - cos (x) = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

- cos (x)

$- \cos (x)$ .

cos (x) {cos}^{2} (x) + cos (x) \cdot - 1 = 0

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi

cos (x)

$\cos (x)$ da

cos (x) {cos}^{2} (x) + cos (x) \cdot - 1

$\cos (x) \cos^{2} (x) + \cos (x) \cdot - 1$ .

cos (x) ({cos}^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

cos (x) ({cos}^{2} (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1) = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi

1

$1$ come

1^{2}

$1^{2}$ .

cos (x) ({cos}^{2} (x) - 1^{2}) = 0

$\cos (x) (\cos^{2} (x) - 1^{2}) = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati,

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove

a = cos (x)

$a = \cos (x)$ e

b = 1

$b = 1$ .

cos (x) ((cos (x) + 1) (cos (x) - 1)) = 0

$\cos (x) ((\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1)) = 0$

Passaggio 1.3.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

cos (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

cos (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

cos (x) (cos (x) + 1) (cos (x) - 1) = 0

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

0

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta

cos (x)

$\cos (x)$ uguale a

0

$0$ .

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi

cos (x) = 0

$\cos (x) = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = arccos (0)

$x = \arccos (0)$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Il valore esatto di

arccos (0)

$\arccos (0)$ è

\frac{π}{2}

$\frac{π}{2}$ .

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

x = \frac{π}{2}

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

x = 2 π - \frac{π}{2}

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4

Semplifica

2 π - \frac{π}{2}

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.1

Per scrivere

2 π

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.2.1

2 π

$2 π$ e

\frac{2}{2}

$\frac{2}{2}$ .

x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.4.3.1

Moltiplica

2

$2$ per

2

$2$ .

x = \frac{4 π - π}{2}

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.2.4.3.2

Sottrai

π

$π$ da

4 π

$4 π$ .

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

x = \frac{3 π}{2}

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.5

Trova il periodo di

cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.5.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.5.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 3.2.6

Il periodo della funzione

cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 4

Imposta

cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Imposta

cos (x) + 1

$\cos (x) + 1$ uguale a

0

$0$ .

cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi

cos (x) + 1 = 0

$\cos (x) + 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sottrai

1

$1$ da entrambi i lati dell'equazione.

cos (x) = - 1

$\cos (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = arccos (- 1)

$x = \arccos (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di

arccos (- 1)

$\arccos (- 1)$ è

π

$π$ .

x = π

$x = π$

x = π

$x = π$

Passaggio 4.2.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

2 π

$2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

x = 2 π - π

$x = 2 π - π$

Passaggio 4.2.5

Sottrai

π

$π$ da

2 π

$2 π$ .

x = π

$x = π$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di

cos (x)

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$ .

\frac{2 π}{| b |}

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci

b

$b$ con

1

$1$ nella formula per il periodo.

\frac{2 π}{| 1 |}

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

0

$0$ e

1

$1$ è

1

$1$ .

\frac{2 π}{1}

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi

2 π

$2 π$ per

1

$1$ .

2 π

$2 π$

2 π

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione

cos (x)

$\cos (x)$ è

2 π

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

2 π

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

x = π + 2 π n

$x = π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

n

$n$

Passaggio 5

Imposta

cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ uguale a

0

$0$ e risolvi per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

cos (x) - 1

$\cos (x) - 1$ uguale a

0

$0$ .

cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

cos (x) - 1 = 0

$\cos (x) - 1 = 0$ per

x

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Somma

1

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

cos (x) = 1

$\cos (x) = 1$

Passaggio 5.2.2

Trova il valore dell'incognita

x

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

x = arccos (1)

$x = \arccos (1)$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.3.1

Il valore esatto di

arccos (1)

$\arccos (1)$ è

$0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.2.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 5.2.5

Sottrai

$0$ da

$2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 5.2.6

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.6.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.6.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.7

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$\cos (x) (\cos (x) + 1) (\cos (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, π + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 7

Consolida le risposte.

$x = \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero

$n$