Trigonometria Esempi

$e^{2 x} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Passaggio 1

Riscrivi $e^{2 x}$ come un elevamento a potenza.

${(e^{x})}^{2} - 30 e^{x} + 1 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $e^{x}$ per $u$ .

$u^{2} - 30 u + 1 = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $u$ .

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Passaggio 3.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 30$ e $c = 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{30 \pm \sqrt{{(- 30)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3

Semplifica.

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Passaggio 3.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.3.1.1

Eleva $- 30$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Passaggio 3.3.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{900 - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.3

Sottrai $4$ da $900$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{896}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.4

Riscrivi $896$ come $8^{2} \cdot 14$ .

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Passaggio 3.3.1.4.1

Scomponi $64$ da $896$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{64 (14)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.4.2

Riscrivi $64$ come $8^{2}$ .

$u = \frac{30 \pm \sqrt{8^{2} \cdot 14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$

Passaggio 3.3.3

Semplifica $\frac{30 \pm 8 \sqrt{14}}{2}$ .

$u = 15 \pm 4 \sqrt{14}$

Passaggio 3.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = 15 + 4 \sqrt{14}, 15 - 4 \sqrt{14}$

Passaggio 4

Sostituisci $15 + 4 \sqrt{14}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Passaggio 5

Risolvi $15 + 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Passaggio 5.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 + 4 \sqrt{14}$

Passaggio 5.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Passaggio 5.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Passaggio 5.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Passaggio 5.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14})$

Passaggio 6

Sostituisci $15 - 4 \sqrt{14}$ per $u$ in $u = e^{x}$ .

$15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$

Passaggio 7

Risolvi $15 - 4 \sqrt{14} = e^{x}$ .

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Passaggio 7.1

Riscrivi l'equazione come $e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$ .

$e^{x} = 15 - 4 \sqrt{14}$

Passaggio 7.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Passaggio 7.3

Espandi il lato sinistro.

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Passaggio 7.3.1

Espandi $\ln (e^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Passaggio 7.3.2

Il logaritmo naturale di $e$ è $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Passaggio 7.3.3

Moltiplica $x$ per $1$ .

$x = \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Passaggio 8

Elenca le soluzioni che rendono vera l'equazione.

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Passaggio 9

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = \ln (15 + 4 \sqrt{14}), \ln (15 - 4 \sqrt{14})$

Forma decimale:

$x = 3.40008441 \dots, - 3.40008441 \dots$