Trigonometria Esempi

$3^{2 x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $3^{2 x}$ come ${(3^{x})}^{2}$ .

${(3^{x})}^{2} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = 3^{x}$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $3^{x}$ con $u$ .

$u^{2} - 4 u + 3 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $u^{2} - 4 u + 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $3$ e la cui somma è $- 4$ .

$- 3, - 1$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 3) (u - 1) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3^{x}$ .

$(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

$3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $3^{x} - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $3^{x} - 3$ uguale a $0$ .

$3^{x} - 3 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $3^{x} - 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{x} = 3$

Passaggio 3.2.2

Crea nell'equazione espressioni equivalenti che hanno tutte basi uguali.

$3^{x} = 3^{1}$

Passaggio 3.2.3

Poiché le basi sono uguali, allora due espressioni sono uguali solo se anche gli esponenti sono uguali.

$x = 1$

Passaggio 4

Imposta $3^{x} - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $3^{x} - 1$ uguale a $0$ .

$3^{x} - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $3^{x} - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$3^{x} = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (3^{x}) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.3

Espandi $\ln (3^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$x \ln (3) = \ln (1)$

Passaggio 4.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.4.1

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$x \ln (3) = 0$

Passaggio 4.2.5

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 4.2.5.1

Dividi per $\ln (3)$ ciascun termine in $x \ln (3) = 0$ .

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 4.2.5.2.1

Elimina il fattore comune di $\ln (3)$ .

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Passaggio 4.2.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{0}{\ln (3)}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.5.3.1

Dividi $0$ per $\ln (3)$ .

$x = 0$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(3^{x} - 3) (3^{x} - 1) = 0$ vera.

$x = 1, 0$