Trigonometria Esempi

$\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$

Passaggio 1

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${\sqrt{2 x - 2}}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Passaggio 2

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2 x - 2}$ come ${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}}$ .

${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Semplifica ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Moltiplica gli esponenti in ${({(2 x - 2)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

${(2 x - 2)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

${(2 x - 2)}^{1} = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Semplifica.

$2 x - 2 = {(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Semplifica ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.1

Riscrivi ${(1 + \sqrt{4 - x})}^{2}$ come $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ .

$2 x - 2 = (1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$

Passaggio 2.3.1.2

Espandi $(1 + \sqrt{4 - x}) (1 + \sqrt{4 - x})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 2 = 1 (1 + \sqrt{4 - x}) + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Passaggio 2.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} (1 + \sqrt{4 - x})$

Passaggio 2.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 x - 2 = 1 \cdot 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.1

Moltiplica $1$ per $1$ .

$2 x - 2 = 1 + 1 \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.2

Moltiplica $\sqrt{4 - x}$ per $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \cdot 1 + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.3

Moltiplica $\sqrt{4 - x}$ per $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4

Moltiplica $\sqrt{4 - x} \sqrt{4 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.4.1

Eleva $\sqrt{4 - x}$ alla potenza di $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} \sqrt{4 - x}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.2

Eleva $\sqrt{4 - x}$ alla potenza di $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1} {\sqrt{4 - x}}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{1 + 1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.4.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {\sqrt{4 - x}}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5

Riscrivi ${\sqrt{4 - x}}^{2}$ come $4 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + {(4 - x)}^{1}$

Passaggio 2.3.1.3.1.5.5

Semplifica.

$2 x - 2 = 1 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} + 4 - x$

Passaggio 2.3.1.3.2

Somma $1$ e $4$ .

$2 x - 2 = 5 + \sqrt{4 - x} + \sqrt{4 - x} - x$

Passaggio 2.3.1.3.3

Somma $\sqrt{4 - x}$ e $\sqrt{4 - x}$ .

$2 x - 2 = 5 + 2 \sqrt{4 - x} - x$

Passaggio 3

Risolvi per $2 \sqrt{4 - x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$ .

$5 + 2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2$

Passaggio 3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $2 \sqrt{4 - x}$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Sottrai $5$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{4 - x} - x = 2 x - 2 - 5$

Passaggio 3.2.2

Somma $x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sqrt{4 - x} = 2 x - 2 - 5 + x$

Passaggio 3.2.3

Somma $2 x$ e $x$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 2 - 5$

Passaggio 3.2.4

Sottrai $5$ da $- 2$ .

$2 \sqrt{4 - x} = 3 x - 7$

Passaggio 4

Per rimuovere il radicale sul lato sinistro dell'equazione, eleva al quadrato entrambi i lati dell'equazione.

${(2 \sqrt{4 - x})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5

Semplifica ogni lato dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{4 - x}$ come ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ${(2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$2^{2} {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$4 {({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Moltiplica gli esponenti in ${({(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$4 {(4 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3.2.2

Riscrivi l'espressione.

$4 {(4 - x)}^{1} = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Semplifica.

$4 (4 - x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 4 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.6.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$16 + 4 (- x) = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.6.2

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$16 - 4 x = {(3 x - 7)}^{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Semplifica ${(3 x - 7)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.1

Riscrivi ${(3 x - 7)}^{2}$ come $(3 x - 7) (3 x - 7)$ .

$16 - 4 x = (3 x - 7) (3 x - 7)$

Passaggio 5.3.1.2

Espandi $(3 x - 7) (3 x - 7)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 - 4 x = 3 x (3 x - 7) - 7 (3 x - 7)$

Passaggio 5.3.1.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x - 7)$

Passaggio 5.3.1.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$16 - 4 x = 3 x (3 x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Passaggio 5.3.1.3

Semplifica e combina i termini simili.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.1

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x \cdot x + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Passaggio 5.3.1.3.1.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1.3.1.2.1

Sposta $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 (x \cdot x) + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Passaggio 5.3.1.3.1.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$16 - 4 x = 3 \cdot 3 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Passaggio 5.3.1.3.1.3

Moltiplica $3$ per $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} + 3 x \cdot - 7 - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Passaggio 5.3.1.3.1.4

Moltiplica $- 7$ per $3$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 7 (3 x) - 7 \cdot - 7$

Passaggio 5.3.1.3.1.5

Moltiplica $3$ per $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x - 7 \cdot - 7$

Passaggio 5.3.1.3.1.6

Moltiplica $- 7$ per $- 7$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 21 x - 21 x + 49$

Passaggio 5.3.1.3.2

Sottrai $21 x$ da $- 21 x$ .

$16 - 4 x = 9 x^{2} - 42 x + 49$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Poiché $x$ si trova sul lato destro dell'equazione, inverti i lati così che si trovi sul lato sinistro.

$9 x^{2} - 42 x + 49 = 16 - 4 x$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini contenenti $x$ sul lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $4 x$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 42 x + 49 + 4 x = 16$

Passaggio 6.2.2

Somma $- 42 x$ e $4 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 49 = 16$

Passaggio 6.3

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$9 x^{2} - 38 x + 49 - 16 = 0$

Passaggio 6.4

Sottrai $16$ da $49$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 9 \cdot 33 = 297$ e la cui somma è $b = - 38$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.1.1

Scomponi $- 38$ da $- 38 x$ .

$9 x^{2} - 38 x + 33 = 0$

Passaggio 6.5.1.2

Riscrivi $- 38$ come $- 11$ più $- 27$ .

$9 x^{2} + (- 11 - 27) x + 33 = 0$

Passaggio 6.5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$9 x^{2} - 11 x - 27 x + 33 = 0$

Passaggio 6.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(9 x^{2} - 11 x) - 27 x + 33 = 0$

Passaggio 6.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$x (9 x - 11) - 3 (9 x - 11) = 0$

Passaggio 6.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $9 x - 11$ .

$(9 x - 11) (x - 3) = 0$

Passaggio 6.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$9 x - 11 = 0$

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.7

Imposta $9 x - 11$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.1

Imposta $9 x - 11$ uguale a $0$ .

$9 x - 11 = 0$

Passaggio 6.7.2

Risolvi $9 x - 11 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.1

Somma $11$ a entrambi i lati dell'equazione.

$9 x = 11$

Passaggio 6.7.2.2

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 11$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.1

Dividi per $9$ ciascun termine in $9 x = 11$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Passaggio 6.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{9 x}{9} = \frac{11}{9}$

Passaggio 6.7.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{11}{9}$

Passaggio 6.8

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.8.1

Imposta $x - 3$ uguale a $0$ .

$x - 3 = 0$

Passaggio 6.8.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 3$

Passaggio 6.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(9 x - 11) (x - 3) = 0$ vera.

$x = \frac{11}{9}, 3$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\sqrt{2 x - 2} = 1 + \sqrt{4 - x}$ vera.

$x = 3$