Trigonometria Esempi

$\sqrt{2} \sin (x) \sec (x) = 2 \sin (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Semplifica $\sqrt{2} \sin (x) \sec (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Riscrivi $\sec (x)$ in termini di seno e coseno.

$\sqrt{2} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Passaggio 1.1.2

Moltiplica $\sqrt{2} \sin (x) \frac{1}{\cos (x)}$ .

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Passaggio 1.1.2.1

$\frac{1}{\cos (x)}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{\cos (x)} \sin (x) = 2 \sin (x)$

Passaggio 1.1.2.2

$\frac{\sqrt{2}}{\cos (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = 2 \sin (x)$

Passaggio 2

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\cos (x)$ .

$\cos (x) \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) \frac{\sqrt{2} \sin (x)}{\cos (x)} = \cos (x) (2 \sin (x))$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{2} \sin (x) = \cos (x) (2 \sin (x))$

Passaggio 4

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{2} \sin (x) = 2 \cos (x) \sin (x)$

Passaggio 5

Riordina $2 \cos (x)$ e $\sin (x)$ .

$\sqrt{2} \sin (x) = \sin (x) (2 \cos (x))$

Passaggio 6

Riordina $\sin (x)$ e $2$ .

$\sqrt{2} \sin (x) = 2 \cdot \sin (x) \cos (x)$

Passaggio 7

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sqrt{2} \sin (x) = \sin (2 x)$

Passaggio 8

Sottrai $\sin (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2} \sin (x) - \sin (2 x) = 0$

Passaggio 9

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 9.1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$\sqrt{2} \sin (x) - (2 \sin (x) \cos (x)) = 0$

Passaggio 9.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\sqrt{2} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 10

Scomponi $\sin (x)$ da $\sqrt{2} \sin (x) - 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 10.1

Scomponi $\sin (x)$ da $\sqrt{2} \sin (x)$ .

$\sin (x) \sqrt{2} - 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 10.2

Scomponi $\sin (x)$ da $- 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\sin (x) \sqrt{2} + \sin (x) (- 2 \cos (x)) = 0$

Passaggio 10.3

Scomponi $\sin (x)$ da $\sin (x) \sqrt{2} + \sin (x) (- 2 \cos (x))$ .

$\sin (x) (\sqrt{2} - 2 \cos (x)) = 0$

Passaggio 11

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 12

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 12.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 12.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 12.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 12.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 12.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 12.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 12.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Imposta $\sqrt{2} - 2 \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.1

Imposta $\sqrt{2} - 2 \cos (x)$ uguale a $0$ .

$\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$

Passaggio 13.2

Risolvi $\sqrt{2} - 2 \cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 13.2.1

Sottrai $\sqrt{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 13.2.2

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$ e semplifica.

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Passaggio 13.2.2.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos (x) = - \sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Passaggio 13.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 13.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 13.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos (x)}{- 2} = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Passaggio 13.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{- \sqrt{2}}{- 2}$

Passaggio 13.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.2.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 13.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 13.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 13.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 13.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.2.6.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 13.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.2.6.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 13.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 13.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 13.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\sin (x) (\sqrt{2} - 2 \cos (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$