Trigonometria Esempi

$\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1$ .

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Passaggio 1.1

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 1.1.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\sqrt{2} \sin (x) \cos (x) - \sin (x) - \sqrt{2} \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 1.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\sin (x) (\sqrt{2} \cos (x) - 1) - (\sqrt{2} \cos (x) - 1) = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ .

$(\sqrt{2} \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

$\sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\sqrt{2} \cos (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\sqrt{2} \cos (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2} \cos (x) = 1$

Passaggio 3.2.2

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ e semplifica.

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Passaggio 3.2.2.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \cos (x) = 1$ .

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

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Passaggio 3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \cos (x)}{\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.2.1.2

Dividi $\cos (x)$ per $1$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.2

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 3.2.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 3.2.2.3.2.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.2.3.2.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 3.2.2.3.2.6.5

Calcola l'esponente.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 3.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 3.2.4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.4.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.6

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 3.2.6.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.2.6.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 3.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 3.2.7

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.8

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\sin (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\sin (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sin (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.5

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.2.5.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.5.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 4.2.5.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\sqrt{2} \cos (x) - 1) (\sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$