Trigonometria Esempi

$\sqrt{2} \csc (x) + 2 = 0$

Passaggio 1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sqrt{2} \csc (x) = - 2$

Passaggio 2

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \csc (x) = - 2$ e semplifica.

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Passaggio 2.1

Dividi per $\sqrt{2}$ ciascun termine in $\sqrt{2} \csc (x) = - 2$ .

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

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Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2} \csc (x)}{\sqrt{2}} = \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\csc (x)$ per $1$ .

$\csc (x) = \frac{- 2}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\csc (x) = - \frac{2}{\sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - (\frac{2}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})$

Passaggio 2.3.3

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 2.3.3.1

Moltiplica $\frac{2}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.3.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 2.3.3.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 2.3.3.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 2.3.3.5

Somma $1$ e $1$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 2.3.3.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 2.3.3.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 2.3.3.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.3.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.3.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 2.3.3.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 2.3.3.6.5

Calcola l'esponente.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.3.4.1

Elimina il fattore comune.

$\csc (x) = - \frac{2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 2.3.4.2

Dividi $\sqrt{2}$ per $1$ .

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 3

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Passaggio 4

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.1

Il valore esatto di $arccsc (- \sqrt{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 5

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 6.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 6.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 8.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 8.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 8.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 8.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 8.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 8.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 8.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$