Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (x) - \tan (x) - 2 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sia $u = \tan (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\tan (x)$ con $u$ .

$u^{2} - u - 2 = 0$

Passaggio 1.2

Scomponi $u^{2} - u - 2$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.2.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 2$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 2, 1$

Passaggio 1.2.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 2) (u + 1) = 0$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

$\tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\tan (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\tan (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\tan (x) - 2 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\tan (x) - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = 2$

Passaggio 3.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (2)$

Passaggio 3.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.3.1

Calcola $\arctan (2)$ .

$x = 1.10714871$

Passaggio 3.2.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Passaggio 3.2.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.2.5.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 1.10714871$

Passaggio 3.2.5.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 1.10714871$

Passaggio 3.2.5.3

Somma $3.14159265$ e $1.10714871$ .

$x = 4.24874137$

Passaggio 3.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 3.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 3.2.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\tan (x) + 1$ uguale a $0$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\tan (x) + 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 4.2.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.3.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 4.2.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 4.2.5.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 4.2.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 4.2.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 4.2.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 4.2.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 4.2.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 4.2.7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 4.2.7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.7.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.2.7.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 4.2.7.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.7.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 4.2.7.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 4.2.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 4.2.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\tan (x) - 2) (\tan (x) + 1) = 0$ vera.

$x = 1.10714871 + π n, 4.24874137 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Combina $1.10714871 + π n$ e $4.24874137 + π n$ in $1.10714871 + π n$ .

$x = 1.10714871 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$