Trigonometria Esempi

$\sin^{4} (x) + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Passaggio 1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\sin^{4} (x)$ come ${(\sin^{2} (x))}^{2}$ .

${(\sin^{2} (x))}^{2} + 2 \sin^{2} (x) - 3 = 0$

Passaggio 1.2

Sia $u = \sin^{2} (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin^{2} (x)$ con $u$ .

$u^{2} + 2 u - 3 = 0$

Passaggio 1.3

Scomponi $u^{2} + 2 u - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.3.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $2$ .

$- 1, 3$

Passaggio 1.3.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(u - 1) (u + 3) = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin^{2} (x)$ .

$(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\sin^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\sin^{2} (x) - 1$ uguale a $0$ .

$\sin^{2} (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Risolvi $\sin^{2} (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (x) = 1$

Passaggio 3.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 3.2.3

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (x) = \pm 1$

Passaggio 3.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 3.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = 1$

Passaggio 3.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 3.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = 1, - 1$

Passaggio 3.2.5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = 1$

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 3.2.6

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = 1$ .

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Passaggio 3.2.6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 3.2.6.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.6.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.6.4

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

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Passaggio 3.2.6.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.6.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.6.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.6.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 3.2.6.4.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.6.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.6.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.7

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 1$ .

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Passaggio 3.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 3.2.7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.7.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 3.2.7.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 3.2.7.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.7.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.2.7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.2.7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.2.7.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.2.7.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 3.2.7.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 3.2.7.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.7.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.2.7.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 3.2.7.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 3.2.7.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.7.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 3.2.7.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.7.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 3.2.7.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.8

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.2.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4

Imposta $\sin^{2} (x) + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\sin^{2} (x) + 3$ uguale a $0$ .

$\sin^{2} (x) + 3 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sin^{2} (x) + 3 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (x) = - 3$

Passaggio 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 3}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica $\pm \sqrt{- 3}$ .

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Passaggio 4.2.3.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1 (3)}$

Passaggio 4.2.3.2

Riscrivi $\sqrt{- 1 (3)}$ come $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$\sin (x) = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.3.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\sin (x) = \pm i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (x) = i \sqrt{3}, - i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.5

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = i \sqrt{3}$

$\sin (x) = - i \sqrt{3}$

Passaggio 4.2.6

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = i \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (i \sqrt{3})$

Passaggio 4.2.6.2

L'inverso del seno di $\arcsin (i \sqrt{3})$ è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.2.7

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - i \sqrt{3}$ .

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Passaggio 4.2.7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- i \sqrt{3})$

Passaggio 4.2.7.2

L'inverso del seno di $\arcsin (- i \sqrt{3})$ è indefinito.

Indefinito

Passaggio 4.2.8

Elenca tutte le soluzioni.

Nessuna soluzione

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(\sin^{2} (x) - 1) (\sin^{2} (x) + 3) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$