Trigonometria Esempi

$\tan^{2} (x) = 2 \tan (x) + 1$

Passaggio 1

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} = 2 (u) + 1$

Passaggio 2

Sottrai $2 u$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 2 u = 1$

Passaggio 3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 4

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 5

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.3

Somma $4$ e $4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4

Riscrivi $8$ come $2^{2} \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (2)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{2}}{2}$ .

$u = 1 \pm \sqrt{2}$

Passaggio 7

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 8

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}, 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 9

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$

$\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$

Passaggio 10

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = 1 + \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\tan (x) = 2.41421356$

Passaggio 10.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (2.41421356)$

Passaggio 10.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Calcola $\arctan (2.41421356)$ .

$x = \frac{3 π}{8}$

Passaggio 10.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{3 π}{8}$

Passaggio 10.5

Semplifica $π + \frac{3 π}{8}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$x = π \cdot \frac{8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Passaggio 10.5.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.2.1

$π$ e $\frac{8}{8}$ .

$x = \frac{π \cdot 8}{8} + \frac{3 π}{8}$

Passaggio 10.5.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 8 + 3 π}{8}$

Passaggio 10.5.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.5.3.1

Sposta $8$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{8 \cdot π + 3 π}{8}$

Passaggio 10.5.3.2

Somma $8 π$ e $3 π$ .

$x = \frac{11 π}{8}$

Passaggio 10.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 10.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 10.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 10.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 10.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = 1 - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\tan (x) = - 0.41421356$

Passaggio 11.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 0.41421356)$

Passaggio 11.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Calcola $\arctan (- 0.41421356)$ .

$x = - \frac{π}{8}$

Passaggio 11.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{8} - π$

Passaggio 11.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = - \frac{π}{8} - π + 2 π$

Passaggio 11.5.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{8}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{8} - π$ .

$x = \frac{7 π}{8}$

Passaggio 11.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 11.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 11.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 11.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 11.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{8}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{8} + π$

Passaggio 11.7.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{8}{8}$ .

$π \cdot \frac{8}{8} - \frac{π}{8}$

Passaggio 11.7.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.3.1

$π$ e $\frac{8}{8}$ .

$\frac{π \cdot 8}{8} - \frac{π}{8}$

Passaggio 11.7.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 8 - π}{8}$

Passaggio 11.7.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.7.4.1

Sposta $8$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{8 \cdot π - π}{8}$

Passaggio 11.7.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{8}$

Passaggio 11.7.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{8}$

Passaggio 11.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{3 π}{8} + π n, \frac{11 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n, \frac{7 π}{8} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{8} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$