Trigonometria Esempi

$\sec^{2} (x) + 4 \tan (x) = 2$

Passaggio 1

Sostituisci $\sec^{2} (x)$ con $1 + \tan^{2} (x)$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(1 + \tan^{2} (x)) + 4 \tan (x) = 2$

Passaggio 2

Riordina il polinomio.

$\tan^{2} (x) + 4 \tan (x) + 1 = 2$

Passaggio 3

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 4 (u) + 1 = 2$

Passaggio 4

Sposta tutti i termini sul lato sinistro dell'equazione e semplifica.

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Passaggio 4.1

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u^{2} + 4 u + 1 - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$u^{2} + 4 u - 1 = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 4$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 4 \pm \sqrt{4^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 1)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot 1 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 - 4 \cdot - 1}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 1$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{16 + 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.3

Somma $16$ e $4$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi $20$ come $2^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 7.1.4.1

Scomponi $4$ da $20$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{4 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{- 4 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{- 4 \pm 2 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 2 \pm \sqrt{5}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}, - 2 - \sqrt{5}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$

$\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - 2 + \sqrt{5}$ .

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Passaggio 11.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\tan (x) = 0.23606797$

Passaggio 11.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (0.23606797)$

Passaggio 11.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.3.1

Calcola $\arctan (0.23606797)$ .

$x = 0.2318238$

Passaggio 11.4

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Passaggio 11.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 11.5.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 0.2318238$

Passaggio 11.5.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 0.2318238$

Passaggio 11.5.3

Somma $3.14159265$ e $0.2318238$ .

$x = 3.37341645$

Passaggio 11.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 11.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 11.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 11.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 11.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 11.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - 2 - \sqrt{5}$ .

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Passaggio 12.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\tan (x) = - 4.23606797$

Passaggio 12.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 4.23606797)$

Passaggio 12.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.3.1

Calcola $\arctan (- 4.23606797)$ .

$x = - 1.33897252$

Passaggio 12.4

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - 1.33897252 - (3.14159265)$

Passaggio 12.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 12.5.1

Somma $2 π$ a $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.33897252 - (3.14159265) + 2 π$

Passaggio 12.5.2

L'angolo risultante di $1.80262013$ è positivo e coterminale con $- 1.33897252 - (3.14159265)$ .

$x = 1.80262013$

Passaggio 12.6

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 12.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 12.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 12.6.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 12.7

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.7.1

Somma $π$ a $- 1.33897252$ per trovare l'angolo positivo.

$- 1.33897252 + π$

Passaggio 12.7.2

Sostituisci con l'approssimazione decimale.

$3.14159265 - 1.33897252$

Passaggio 12.7.3

Sottrai $1.33897252$ da $3.14159265$ .

$1.80262013$

Passaggio 12.7.4

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 1.80262013$

Passaggio 12.8

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.2318238 + π n, 3.37341645 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 14.1

Combina $0.2318238 + π n$ e $3.37341645 + π n$ in $0.2318238 + π n$ .

$x = 0.2318238 + π n, 1.80262013 + π n, 1.80262013 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14.2

Combina $0.2318238 + π n$ e $1.80262013 + π n$ in $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}, 1.80262013 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14.3

Combina $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ e $1.80262013 + π n$ in $0.2318238 + \frac{π n}{2}$ .

$x = 0.2318238 + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$