Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{1}{4}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$1 \cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{2} (x) \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $\cos^{2} (x)$ per $\cos^{2} (x)$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $\cos^{2} (x)$ .

$\cos^{2} (x) - (\cos^{2} (x) \cos^{2} (x)) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 3.3.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos^{2} (x) - {\cos (x)}^{2 + 2} - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 3.3.3

Somma $2$ e $2$ .

$\cos^{2} (x) - \cos^{4} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 4

Riordina il polinomio.

$- \cos^{4} (x) + \cos^{2} (x) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $u = \cos^{2} (x)$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$- u^{2} + u - \frac{1}{4} = 0$

$u = \cos^{2} (x)$

Passaggio 6

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 6.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} + u - \frac{1}{4}$ .

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Passaggio 6.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + u - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 6.1.2

Scomponi $- 1$ da $u$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - \frac{1}{4} = 0$

Passaggio 6.1.3

Scomponi $- 1$ da $- \frac{1}{4}$ .

$- (u^{2}) - 1 (- u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} - u) - (\frac{1}{4})$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1}{4}) = 0$

Passaggio 6.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 6.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{4}) = 0$

Passaggio 6.2.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$- (u^{2} - u + \frac{1^{2}}{2^{2}}) = 0$

Passaggio 6.2.3

Riscrivi $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ come ${(\frac{1}{2})}^{2}$ .

$- (u^{2} - u + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.4

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$u = 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.5

Riscrivi il polinomio.

$- (u^{2} - 2 \cdot u \cdot \frac{1}{2} + {(\frac{1}{2})}^{2}) = 0$

Passaggio 6.2.6

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = \frac{1}{2}$ .

$- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Passaggio 7

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 7.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- {(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$ .

$\frac{- {(u - \frac{1}{2})}^{2}}{- 1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{{(u - \frac{1}{2})}^{2}}{1} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 7.2.2

Dividi ${(u - \frac{1}{2})}^{2}$ per $1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = \frac{0}{- 1}$

Passaggio 7.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 7.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

${(u - \frac{1}{2})}^{2} = 0$

Passaggio 8

Poni $u - \frac{1}{2}$ uguale a $0$ .

$u - \frac{1}{2} = 0$

Passaggio 9

Somma $\frac{1}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = \cos^{2} (x)$ nell'equazione risolta.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Risolvi l'equazione per $\cos (x)$ .

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Passaggio 11.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

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Passaggio 11.2.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.4

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 11.2.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 11.2.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 11.2.4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 11.2.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 11.2.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

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Passaggio 11.2.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 11.2.4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 11.2.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 11.2.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 11.2.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 11.2.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 11.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 11.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 12

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

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Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 13.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.4

Semplifica $2 π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 13.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 13.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 13.4.3.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{3 π}{4}$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.4

Semplifica $2 π - \frac{3 π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.2.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{3 π}{4}$

Passaggio 14.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 4 - 3 π}{4}$

Passaggio 14.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.4.3.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$x = \frac{8 π - 3 π}{4}$

Passaggio 14.4.3.2

Sottrai $3 π$ da $8 π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$