Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) = \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 1

Sottrai $\frac{\sqrt{3}}{2}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (x) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $\sin^{2} (x)$ con $1 - \cos^{2} (x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (x)) - \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Passaggio 3

Sottrai $\cos^{2} (x)$ da $- \cos^{2} (x)$ .

$1 - 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Passaggio 4

Riordina il polinomio.

$- 2 \cos^{2} (x) + 1 - \frac{\sqrt{3}}{2} = 0$

Passaggio 5

Sposta tutti i termini non contenenti $\cos (x)$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos^{2} (x) - \frac{\sqrt{3}}{2} = - 1$

Passaggio 5.2

Somma $\frac{\sqrt{3}}{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 6.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 \cos^{2} (x) = - 1 + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

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Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 \cos^{2} (x)}{- 2} = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{- 1}{- 2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 6.3.1.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{- 2}$

Passaggio 6.3.1.2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{1}{- 2}$

Passaggio 6.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$

Passaggio 6.3.1.4

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2} (- \frac{1}{2})$ .

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Passaggio 6.3.1.4.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{3}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.1.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cos^{2} (x) = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}$

Passaggio 7

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 8

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$ .

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Passaggio 8.1

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 8.2

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2}{4} - \frac{\sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 8.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (x) = \pm \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$

Passaggio 8.4

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{3}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 8.5

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 8.5.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 8.5.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (x) = \pm \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 9.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 9.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}, - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 11.2.1

Calcola $\arccos (\frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 11.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{5 π}{12}$

Passaggio 11.4

Semplifica $2 π - \frac{5 π}{12}$ .

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Passaggio 11.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Passaggio 11.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.4.2.1

$2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{5 π}{12}$

Passaggio 11.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 5 π}{12}$

Passaggio 11.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 11.4.3.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$x = \frac{24 π - 5 π}{12}$

Passaggio 11.4.3.2

Sottrai $5 π$ da $24 π$ .

$x = \frac{19 π}{12}$

Passaggio 11.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 11.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 11.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2}$ .

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Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Calcola $\arccos (- \frac{\sqrt{2 - \sqrt{3}}}{2})$ .

$x = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 12.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{7 π}{12}$

Passaggio 12.4

Semplifica $2 π - \frac{7 π}{12}$ .

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Passaggio 12.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{12}{12}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Passaggio 12.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.2.1

$2 π$ e $\frac{12}{12}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 12}{12} - \frac{7 π}{12}$

Passaggio 12.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 12 - 7 π}{12}$

Passaggio 12.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.4.3.1

Moltiplica $12$ per $2$ .

$x = \frac{24 π - 7 π}{12}$

Passaggio 12.4.3.2

Sottrai $7 π$ da $24 π$ .

$x = \frac{17 π}{12}$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{5 π}{12} + 2 π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n, \frac{17 π}{12} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 14.1

Combina $\frac{5 π}{12} + 2 π n$ e $\frac{17 π}{12} + 2 π n$ in $\frac{5 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{19 π}{12} + 2 π n, \frac{7 π}{12} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14.2

Combina $\frac{19 π}{12} + 2 π n$ e $\frac{7 π}{12} + 2 π n$ in $\frac{7 π}{12} + π n$ .

$x = \frac{5 π}{12} + π n, \frac{7 π}{12} + π n$ , per qualsiasi intero $n$