Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (x) + 8 \sin (x) - 4 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

${(u)}^{2} + 8 (u) - 4 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = 8$ e $c = - 4$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{- 8 \pm \sqrt{8^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 4)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $8$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot 1 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 4$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 - 4 \cdot - 4}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{64 + 16}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.3

Somma $64$ e $16$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{80}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $80$ come $4^{2} \cdot 5$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $16$ da $80$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{16 (5)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi $16$ come $4^{2}$ .

$u = \frac{- 8 \pm \sqrt{4^{2} \cdot 5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$u = \frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{- 8 \pm 4 \sqrt{5}}{2}$ .

$u = - 4 \pm 2 \sqrt{5}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 6

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}, - 4 - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$

$\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 4 + 2 \sqrt{5}$ .

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Passaggio 8.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\sin (x) = 0.47213595$

Passaggio 8.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0.47213595)$

Passaggio 8.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.3.1

Calcola $\arcsin (0.47213595)$ .

$x = 0.49171223$

Passaggio 8.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

Passaggio 8.5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 8.5.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 0.49171223$

Passaggio 8.5.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 0.49171223$

Passaggio 8.5.3

Sottrai $0.49171223$ da $3.14159265$ .

$x = 2.64988042$

Passaggio 8.6

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.6.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 8.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 8.6.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 8.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 4 - 2 \sqrt{5}$ .

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Passaggio 9.1

Converti il lato destro dell'equazione nel suo equivalente decimale.

$\sin (x) = - 8.47213595$

Passaggio 9.2

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- 8.47213595$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 10

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.49171223 + 2 π n, 2.64988042 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$