Trigonometria Esempi

$\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$

Passaggio 1

Sposta tutti i termini contenenti un logaritmo sul lato sinistro dell'equazione.

$\log_{3} (x - 7) + \log_{3} (x + 1) = 2$

Passaggio 2

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log_{3} ((x - 7) (x + 1)) = 2$

Passaggio 3

Espandi $(x - 7) (x + 1)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{3} (x (x + 1) - 7 (x + 1)) = 2$

Passaggio 3.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 (x + 1)) = 2$

Passaggio 3.3

Applica la proprietà distributiva.

$\log_{3} (x \cdot x + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Passaggio 4

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.1.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log_{3} (x^{2} + x \cdot 1 - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7 \cdot 1) = 2$

Passaggio 4.1.3

Moltiplica $- 7$ per $1$ .

$\log_{3} (x^{2} + x - 7 x - 7) = 2$

Passaggio 4.2

Sottrai $7 x$ da $x$ .

$\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$

Passaggio 5

Riscrivi $\log_{3} (x^{2} - 6 x - 7) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$3^{2} = x^{2} - 6 x - 7$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 3^{2}$

Passaggio 6.2

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$x^{2} - 6 x - 7 = 9$

Passaggio 6.3

Sottrai $9$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{2} - 6 x - 7 - 9 = 0$

Passaggio 6.4

Sottrai $9$ da $- 7$ .

$x^{2} - 6 x - 16 = 0$

Passaggio 6.5

Scomponi $x^{2} - 6 x - 16$ usando il metodo AC.

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Passaggio 6.5.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 16$ e la cui somma è $- 6$ .

$- 8, 2$

Passaggio 6.5.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$(x - 8) (x + 2) = 0$

Passaggio 6.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.7

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.7.1

Imposta $x - 8$ uguale a $0$ .

$x - 8 = 0$

Passaggio 6.7.2

Somma $8$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 8$

Passaggio 6.8

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 6.8.1

Imposta $x + 2$ uguale a $0$ .

$x + 2 = 0$

Passaggio 6.8.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 2$

Passaggio 6.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - 8) (x + 2) = 0$ vera.

$x = 8, - 2$

Passaggio 7

Escludi le soluzioni che non rendono $\log_{3} (x - 7) = 2 - \log_{3} (x + 1)$ vera.

$x = 8$