Trigonometria Esempi

$2 \cot^{2} (x) - 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $2 \cot^{2} (x)$ con $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) - 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 - 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 - 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$2 \csc^{2} (x) - 3 \csc (x) - 2 = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $\csc (x)$ per $u$ .

$2 {(u)}^{2} - 3 u - 2 = 0$

Passaggio 5

Scomponi mediante raccoglimento.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e la cui somma è $b = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Scomponi $- 3$ da $- 3 u$ .

$2 u^{2} - 3 u - 2 = 0$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $- 3$ come $1$ più $- 4$ .

$2 u^{2} + (1 - 4) u - 2 = 0$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} + 1 u - 4 u - 2 = 0$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$2 u^{2} + u - 4 u - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 u^{2} + u - 4 u - 2 = 0$

Passaggio 5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u + 1) - 2 (2 u + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (u - 2) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 2 = 0$

Passaggio 7

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $2 u + 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = - 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Imposta $u - 2$ uguale a $0$ .

$u - 2 = 0$

Passaggio 8.2

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 2$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u + 1) (u - 2) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 10

Sostituisci $u$ per $\csc (x)$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}, 2$

Passaggio 11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = - \frac{1}{2}$

$\csc (x) = 2$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $- \frac{1}{2}$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (2)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $arccsc (2)$ è $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 13.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.4

Semplifica $π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.2.1

$π$ e $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 13.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.4.3.1

Sposta $6$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 13.4.3.2

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$