Trigonometria Esempi

$2 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$2 {(u)}^{2} - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 2

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3

Sostituisci i valori $a = 2$ , $b = - 2$ e $c = - 1$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (2 \cdot - 1)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 2 \cdot - 1$ .

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Passaggio 4.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8 \cdot - 1}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.2.2

Moltiplica $- 8$ per $- 1$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 8}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.3

Somma $4$ e $8$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.4

Riscrivi $12$ come $2^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.1.4.1

Scomponi $4$ da $12$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (3)}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{2 \cdot 2}$

Passaggio 4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$

Passaggio 4.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{3}}{4}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 5

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 6

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}, \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$

$\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 8.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $\frac{1 + \sqrt{3}}{2}$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 9

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = \frac{1 - \sqrt{3}}{2}$ .

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Passaggio 9.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$

Passaggio 9.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.1

Calcola $\arccos (\frac{1 - \sqrt{3}}{2})$ .

$x = 1.94553075$

Passaggio 9.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Passaggio 9.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 9.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 1.94553075$

Passaggio 9.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 1.94553075$ .

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Passaggio 9.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.94553075$

Passaggio 9.4.2.2

Sottrai $1.94553075$ da $6.2831853$ .

$x = 4.33765454$

Passaggio 9.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 9.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 9.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 9.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 9.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 9.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 1.94553075 + 2 π n, 4.33765454 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$