Trigonometria Esempi

$2 \cot^{2} (x) + 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $2 \cot^{2} (x)$ con $2 (\csc^{2} (x) - 1)$ in base all'identità $\cot^{2} (x) + 1 = \csc^{2} (x)$ .

$2 (\csc^{2} (x) - 1) + 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \csc^{2} (x) + 2 \cdot - 1 + 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 \csc^{2} (x) - 2 + 3 \csc (x) = 0$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$2 \csc^{2} (x) + 3 \csc (x) - 2 = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $\csc (x)$ per $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 3 (u) - 2 = 0$

Passaggio 5

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 5.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 2 = - 4$ e la cui somma è $b = 3$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $3$ da $3 u$ .

$2 u^{2} + 3 u - 2 = 0$

Passaggio 5.1.2

Riscrivi $3$ come $- 1$ più $4$ .

$2 u^{2} + (- 1 + 4) u - 2 = 0$

Passaggio 5.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Passaggio 5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 u^{2} - 1 u + 4 u - 2 = 0$

Passaggio 5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) + 2 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 2) = 0$

Passaggio 6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 2 = 0$

Passaggio 7

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 7.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 7.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 7.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 7.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

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Passaggio 7.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 7.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 7.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 7.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 8.1

Imposta $u + 2$ uguale a $0$ .

$u + 2 = 0$

Passaggio 8.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 2$

Passaggio 9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u - 1) (u + 2) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 2$

Passaggio 10

Sostituisci $u$ per $\csc (x)$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}, - 2$

Passaggio 11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = \frac{1}{2}$

$\csc (x) = - 2$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 12.1

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $\frac{1}{2}$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - 2$ .

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Passaggio 13.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- 2)$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- 2)$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 13.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 13.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 13.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 13.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 13.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 13.6.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 13.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 13.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 13.6.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 13.6.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 13.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 13.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$