Trigonometria Esempi

$16 \sin (x) = 4 \cos^{2} (x) - 11$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $4 \cos^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) = - 11$

Passaggio 1.2

Somma $11$ a entrambi i lati dell'equazione.

$16 \sin (x) - 4 \cos^{2} (x) + 11 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $- 4 \cos^{2} (x)$ con $- 4 (1 - \sin^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$16 \sin (x) - 4 (1 - \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$16 \sin (x) - 4 \cdot 1 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$16 \sin (x) - 4 - 4 (- \sin^{2} (x)) + 11 = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $- 4$ .

$16 \sin (x) - 4 + 4 \sin^{2} (x) + 11 = 0$

Passaggio 4

Somma $- 4$ e $11$ .

$16 \sin (x) + 4 \sin^{2} (x) + 7 = 0$

Passaggio 5

Riordina il polinomio.

$4 \sin^{2} (x) + 16 \sin (x) + 7 = 0$

Passaggio 6

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$4 {(u)}^{2} + 16 (u) + 7 = 0$

Passaggio 7

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 7.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot 7 = 28$ e la cui somma è $b = 16$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $16$ da $16 u$ .

$4 u^{2} + 16 u + 7 = 0$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi $16$ come $2$ più $14$ .

$4 u^{2} + (2 + 14) u + 7 = 0$

Passaggio 7.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Passaggio 7.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 7.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$4 u^{2} + 2 u + 14 u + 7 = 0$

Passaggio 7.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$2 u (2 u + 1) + 7 (2 u + 1) = 0$

Passaggio 7.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$2 u + 7 = 0$

Passaggio 9

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Passaggio 9.2

Risolvi $2 u + 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 9.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = - 1$

Passaggio 9.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 9.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 9.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 9.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Imposta $2 u + 7$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $2 u + 7$ uguale a $0$ .

$2 u + 7 = 0$

Passaggio 10.2

Risolvi $2 u + 7 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 10.2.1

Sottrai $7$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = - 7$

Passaggio 10.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 7$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 7$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 10.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 10.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 7}{2}$

Passaggio 10.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 10.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{7}{2}$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u + 1) (2 u + 7) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Passaggio 12

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}, - \frac{7}{2}$

Passaggio 13

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - \frac{7}{2}$

Passaggio 14

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 14.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{2})$

Passaggio 14.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 14.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{1}{2})$ è $- \frac{π}{6}$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π$

Passaggio 14.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 14.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{6} + π - 2 π$

Passaggio 14.4.2

L'angolo risultante di $\frac{7 π}{6}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{6} + π$ .

$x = \frac{7 π}{6}$

Passaggio 14.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 14.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 14.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 14.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 14.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 14.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 14.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + 2 π$

Passaggio 14.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{6}{6}$ .

$2 π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 14.6.3.1

$2 π$ e $\frac{6}{6}$ .

$\frac{2 π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 14.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 14.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 14.6.4.1

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{12 π - π}{6}$

Passaggio 14.6.4.2

Sottrai $π$ da $12 π$ .

$\frac{11 π}{6}$

Passaggio 14.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{11 π}{6}$

Passaggio 14.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - \frac{7}{2}$ .

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Passaggio 15.1

L'intervallo del seno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Poiché $- \frac{7}{2}$ non rientra nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 16

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{7 π}{6} + 2 π n, \frac{11 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$