Trigonometria Esempi

$2 \sin^{2} (3 x) - 1 = 0$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin^{2} (3 x) = 1$

Passaggio 2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{2} (3 x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 \sin^{2} (3 x) = 1$ .

$\frac{2 \sin^{2} (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin^{2} (3 x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 2.2.1.2

Dividi $\sin^{2} (3 x)$ per $1$ .

$\sin^{2} (3 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\sin (3 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Passaggio 4

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{2}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.3

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Passaggio 4.4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Moltiplica $\frac{1}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Passaggio 4.4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Passaggio 4.4.4

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Passaggio 4.4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Passaggio 4.4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 4.4.6.2

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 4.4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 4.4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Passaggio 4.4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sin (3 x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$

$\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\sin (3 x) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (\frac{\sqrt{2}}{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$3 x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 7.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{4 \cdot 3}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x = \frac{π}{12}$

Passaggio 7.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$3 x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$3 x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.5.1.2

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 7.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 7.5.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.4.1

Riordina $π$ e $4$ .

$3 x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 7.5.1.4.2

Sottrai $π$ da $4 \cdot π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$

Passaggio 7.5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 \cdot π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Passaggio 7.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Passaggio 7.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{4}}{3}$

Passaggio 7.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 \cdot π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.6

Trova il periodo di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 7.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\sin (3 x)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\sin (3 x) = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- \frac{\sqrt{2}}{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$3 x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 8.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{4}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 4}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$x = - \frac{π}{12}$

Passaggio 8.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$3 x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 8.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 8.5.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$3 x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 8.5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 π}{4}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{5 π}{4}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Passaggio 8.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Passaggio 8.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{4}}{3}$

Passaggio 8.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.5.3.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{4} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{4}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{5 π}{4 \cdot 3}$

Passaggio 8.5.3.3.2.2

Moltiplica $4$ per $3$ .

$x = \frac{5 π}{12}$

Passaggio 8.6

Trova il periodo di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 8.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 8.7

Somma $\frac{2 π}{3}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Somma $\frac{2 π}{3}$ a $- \frac{π}{12}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{12} + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 8.7.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{12}$

Passaggio 8.7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} - \frac{π}{12}$

Passaggio 8.7.3.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{12} - \frac{π}{12}$

Passaggio 8.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{12}$

Passaggio 8.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.5.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{12}$

Passaggio 8.7.5.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{12}$

Passaggio 8.7.6

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{12}$

Passaggio 8.8

Il periodo della funzione $\sin (3 x)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{4} + \frac{2 π n}{3}, \frac{5 π}{12} + \frac{2 π n}{3}, \frac{7 π}{12} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{12} + \frac{π n}{6}$ , per qualsiasi intero $n$