Trigonometria Esempi

$2 \sec^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Passaggio 1

Sostituisci $2 \sec^{2} (x)$ con $2 (1 + \tan^{2} (x))$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) = 3 - \tan (x)$

Passaggio 2

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Passaggio 3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) = 3 - \tan (x)$

Passaggio 4

Riordina il polinomio.

$2 \tan^{2} (x) + 2 = 3 - \tan (x)$

Passaggio 5

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 2 = 3 - (u)$

Passaggio 6

Somma $u$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u^{2} + 2 + u = 3$

Passaggio 7

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u^{2} + 2 + u - 3 = 0$

Passaggio 8

Sottrai $3$ da $2$ .

$2 u^{2} + u - 1 = 0$

Passaggio 9

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 9.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = 1$ .

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Passaggio 9.1.1

Moltiplica per $1$ .

$2 u^{2} + 1 u - 1 = 0$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi $1$ come $- 1$ più $2$ .

$2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1 = 0$

Passaggio 9.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 9.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1 = 0$

Passaggio 9.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1) = 0$

Passaggio 9.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u - 1$ .

$(2 u - 1) (u + 1) = 0$

Passaggio 10

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 11

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 11.1

Imposta $2 u - 1$ uguale a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Risolvi $2 u - 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = 1$

Passaggio 11.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 11.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Passaggio 12

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 12.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 13

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(2 u - 1) (u + 1) = 0$ vera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 14

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Passaggio 15

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = \frac{1}{2}$

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 16

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 16.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\frac{1}{2})$

Passaggio 16.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 16.2.1

Calcola $\arctan (\frac{1}{2})$ .

$x = 0.4636476$

Passaggio 16.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Passaggio 16.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 16.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 + 0.4636476$

Passaggio 16.4.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) + 0.4636476$

Passaggio 16.4.3

Somma $3.14159265$ e $0.4636476$ .

$x = 3.60524026$

Passaggio 16.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 16.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 16.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 16.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 16.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 16.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 17

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - 1$ .

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Passaggio 17.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 17.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 17.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 17.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 17.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 17.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 17.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 17.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 17.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 17.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 17.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 17.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 17.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 17.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 17.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 17.6.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 17.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 17.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 17.6.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 17.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 17.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 17.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 18

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.4636476 + π n, 3.60524026 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 19

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 19.1

Combina $0.4636476 + π n$ e $3.60524026 + π n$ in $0.4636476 + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 19.2

Combina $\frac{3 π}{4} + π n$ e $\frac{3 π}{4} + π n$ in $\frac{3 π}{4} + π n$ .

$x = 0.4636476 + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$