Trigonometria Esempi

$2 \sec^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Passaggio 1

Sostituisci $2 \sec^{2} (x)$ con $2 (1 + \tan^{2} (x))$ in base all'identità $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$2 (1 + \tan^{2} (x)) - \tan^{4} (x) = - 1$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 \tan^{2} (x) - \tan^{4} (x) = - 1$

Passaggio 3

Riordina il polinomio.

$- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$

Passaggio 4

Sostituisci $u = \tan^{2} (x)$ nell'equazione. In questo modo la formula quadratica sarà più facile da usare.

$- u^{2} + 2 u + 2 = - 1$

$u = \tan^{2} (x)$

Passaggio 5

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- u^{2} + 2 u + 2 + 1 = 0$

Passaggio 6

Somma $2$ e $1$ .

$- u^{2} + 2 u + 3 = 0$

Passaggio 7

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 7.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2} + 2 u + 3$ .

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Passaggio 7.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u^{2}$ .

$- (u^{2}) + 2 u + 3 = 0$

Passaggio 7.1.2

Scomponi $- 1$ da $2 u$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) + 3 = 0$

Passaggio 7.1.3

Riscrivi $3$ come $- 1 (- 3)$ .

$- (u^{2}) - (- 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 7.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2}) - (- 2 u)$ .

$- (u^{2} - 2 u) - 1 \cdot - 3 = 0$

Passaggio 7.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (u^{2} - 2 u) - 1 (- 3)$ .

$- (u^{2} - 2 u - 3) = 0$

Passaggio 7.2

Scomponi.

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Passaggio 7.2.1

Scomponi $u^{2} - 2 u - 3$ usando il metodo AC.

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Passaggio 7.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 3$ e la cui somma è $- 2$ .

$- 3, 1$

Passaggio 7.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$- ((u - 3) (u + 1)) = 0$

Passaggio 7.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (u - 3) (u + 1) = 0$

Passaggio 8

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

$u + 1 = 0$

Passaggio 9

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 9.1

Imposta $u - 3$ uguale a $0$ .

$u - 3 = 0$

Passaggio 9.2

Somma $3$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 3$

Passaggio 10

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 10.1

Imposta $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 10.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 11

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (u - 3) (u + 1) = 0$ vera.

$u = 3, - 1$

Passaggio 12

Sostituisci nuovamente il valore reale di $u = \tan^{2} (x)$ nell'equazione risolta.

$\tan^{2} (x) = 3$

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Passaggio 13

Risolvi la prima equazione per $\tan (x)$ .

$\tan^{2} (x) = 3$

Passaggio 14

Risolvi l'equazione per $\tan (x)$ .

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Passaggio 14.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{3}$

Passaggio 14.2

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 14.2.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

Passaggio 14.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Passaggio 15

Risolvi la seconda equazione per $\tan (x)$ .

${(\tan^{2} (x))}^{1} = - 1$

Passaggio 16

Risolvi l'equazione per $\tan (x)$ .

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Passaggio 16.1

Rimuovi le parentesi.

$\tan^{2} (x) = - 1$

Passaggio 16.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\tan (x) = \pm \sqrt{- 1}$

Passaggio 16.3

Riscrivi $\sqrt{- 1}$ come $i$ .

$\tan (x) = \pm i$

Passaggio 16.4

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 16.4.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\tan (x) = i$

Passaggio 16.4.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\tan (x) = - i$

Passaggio 16.4.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\tan (x) = i, - i$

Passaggio 17

La soluzione di $- \tan^{4} (x) + 2 \tan^{2} (x) + 2 = - 1$ è $\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}, - \sqrt{3}, i, - i$

Passaggio 18

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = \sqrt{3}$

$\tan (x) = - \sqrt{3}$

$\tan (x) = i$

$\tan (x) = - i$

Passaggio 19

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

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Passaggio 19.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 19.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 19.2.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 19.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 19.4

Semplifica $π + \frac{π}{3}$ .

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Passaggio 19.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 19.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 19.4.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 19.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 19.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 19.4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 19.4.3.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 19.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 19.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 19.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 19.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 19.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 19.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 20

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 20.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- \sqrt{3})$

Passaggio 20.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 20.2.1

Il valore esatto di $\arctan (- \sqrt{3})$ è $- \frac{π}{3}$ .

$x = - \frac{π}{3}$

Passaggio 20.3

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{3} - π$

Passaggio 20.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 20.4.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = - \frac{π}{3} - π + 2 π$

Passaggio 20.4.2

L'angolo risultante di $\frac{2 π}{3}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{3} - π$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 20.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 20.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 20.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 20.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 20.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 20.6

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 20.6.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{3}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{3} + π$

Passaggio 20.6.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 20.6.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 20.6.3.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 20.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 20.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.6.4.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{3 \cdot π - π}{3}$

Passaggio 20.6.4.2

Sottrai $π$ da $3 π$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 20.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 20.7

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 21

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = i$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 21.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (i)$

Passaggio 21.2

L'inverso della tangente di $\arctan (i)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 22

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = - i$ .

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Passaggio 22.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- i)$

Passaggio 22.2

L'inverso della tangente di $\arctan (- i)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 23

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 24

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 24.1

Combina $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 24.2

Combina $\frac{2 π}{3} + π n$ e $\frac{2 π}{3} + π n$ in $\frac{2 π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$