Trigonometria Esempi

$2 \sin^{2} (x) + 4 \sin (x) + 2 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $\sin (x)$ per $u$ .

$2 {(u)}^{2} + 4 (u) + 2 = 0$

Passaggio 2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Scomponi $2$ da $2 u^{2} + 4 u + 2$ .

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Passaggio 2.1.1

Scomponi $2$ da $2 u^{2}$ .

$2 u^{2} + 4 u + 2 = 0$

Passaggio 2.1.2

Scomponi $2$ da $4 u$ .

$2 u^{2} + 2 (2 u) + 2 = 0$

Passaggio 2.1.3

Scomponi $2$ da $2$ .

$2 u^{2} + 2 (2 u) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.1.4

Scomponi $2$ da $2 u^{2} + 2 (2 u)$ .

$2 (u^{2} + 2 u) + 2 (1) = 0$

Passaggio 2.1.5

Scomponi $2$ da $2 (u^{2} + 2 u) + 2 (1)$ .

$2 (u^{2} + 2 u + 1) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 (u^{2} + 2 u + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$2 u = 2 \cdot u \cdot 1$

Passaggio 2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$2 (u^{2} + 2 \cdot u \cdot 1 + 1^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = u$ e $b = 1$ .

$2 {(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 {(u + 1)}^{2} = 0$ e semplifica.

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Passaggio 3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 {(u + 1)}^{2} = 0$ .

$\frac{2 {(u + 1)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 {(u + 1)}^{2}}{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi ${(u + 1)}^{2}$ per $1$ .

${(u + 1)}^{2} = \frac{0}{2}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.1

Dividi $0$ per $2$ .

${(u + 1)}^{2} = 0$

Passaggio 4

Poni $u + 1$ uguale a $0$ .

$u + 1 = 0$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u = - 1$

Passaggio 6

Sostituisci $u$ per $\sin (x)$ .

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 7

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 8

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 8.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 9

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 10

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 10.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 10.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 11

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 11.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 11.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 11.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

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Passaggio 12.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 12.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 12.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 12.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 12.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 12.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 12.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 12.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 12.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 13

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Consolida le risposte.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$