Trigonometria Esempi

$2 \sin^{2} (x) + \sin (2 x) = 0$

Passaggio 1

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin^{2} (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

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Passaggio 2.1

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin^{2} (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x) = 0$

Passaggio 2.3

Scomponi $2 \sin (x)$ da $2 \sin (x) \sin (x) + 2 \sin (x) \cos (x)$ .

$2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 0$

Passaggio 3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 4

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\sin (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\sin (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (0)$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (0)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 4.2.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - 0$

Passaggio 4.2.4

Sottrai $0$ da $π$ .

$x = π$

Passaggio 4.2.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Imposta $\sin (x) + \cos (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Imposta $\sin (x) + \cos (x)$ uguale a $0$ .

$\sin (x) + \cos (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi $\sin (x) + \cos (x) = 0$ per $x$ .

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $\cos (x)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.2

Converti da $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ a $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.3

Elimina il fattore comune di $\cos (x)$ .

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Passaggio 5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\tan (x) + \frac{\cos (x)}{\cos (x)} = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.3.2

Riscrivi l'espressione.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.4

Frazioni separate.

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)}$

Passaggio 5.2.5

Converti da $\frac{1}{\cos (x)}$ a $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = \frac{0}{1} \cdot \sec (x)$

Passaggio 5.2.6

Dividi $0$ per $1$ .

$\tan (x) + 1 = 0 \sec (x)$

Passaggio 5.2.7

Moltiplica $0$ per $\sec (x)$ .

$\tan (x) + 1 = 0$

Passaggio 5.2.8

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (x) = - 1$

Passaggio 5.2.9

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (- 1)$

Passaggio 5.2.10

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.10.1

Il valore esatto di $\arctan (- 1)$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.11

La funzione tangente è negativa nel secondo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = - \frac{π}{4} - π$

Passaggio 5.2.12

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 5.2.12.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = - \frac{π}{4} - π + 2 π$

Passaggio 5.2.12.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{4}$ è positivo e coterminale con $- \frac{π}{4} - π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.13

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

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Passaggio 5.2.13.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 5.2.13.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.13.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 5.2.13.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.2.14

Somma $π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.14.1

Somma $π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + π$

Passaggio 5.2.14.2

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.14.3

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.2.14.3.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2.14.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 5.2.14.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 5.2.14.4.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$\frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 5.2.14.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.14.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.2.15

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 \sin (x) (\sin (x) + \cos (x)) = 0$ vera.

$x = 2 π n, π + 2 π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 7

Combina $2 π n$ e $π + 2 π n$ in $π n$ .

$x = π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$