Trigonometria Esempi

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) = \cos^{2} (x)$

Passaggio 1

Sottrai $\cos^{2} (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - \cos^{2} (x) = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $\cos^{2} (x)$ con $1 - \sin^{2} (x)$ .

$23 \sin^{2} (x) - 2 \sin (x) - (1 - \sin^{2} (x)) = 0$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sia $u = \sin (x)$ . Sostituisci tutte le occorrenze di $\sin (x)$ con $u$ .

$24 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 3.1.2

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 3.1.2.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 24 \cdot - 1 = - 24$ e la cui somma è $b = - 2$ .

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Passaggio 3.1.2.1.1

Scomponi $- 2$ da $- 2 u$ .

$24 u^{2} - 2 u - 1 = 0$

Passaggio 3.1.2.1.2

Riscrivi $- 2$ come $4$ più $- 6$ .

$24 u^{2} + (4 - 6) u - 1 = 0$

Passaggio 3.1.2.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$24 u^{2} + 4 u - 6 u - 1 = 0$

Passaggio 3.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$(24 u^{2} + 4 u) - 6 u - 1 = 0$

Passaggio 3.1.2.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$4 u (6 u + 1) - (6 u + 1) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $6 u + 1$ .

$(6 u + 1) (4 u - 1) = 0$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$(6 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 3.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$6 \sin (x) + 1 = 0$

$4 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Imposta $6 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.3.1

Imposta $6 \sin (x) + 1$ uguale a $0$ .

$6 \sin (x) + 1 = 0$

Passaggio 3.3.2

Risolvi $6 \sin (x) + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$6 \sin (x) = - 1$

Passaggio 3.3.2.2

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Dividi per $6$ ciascun termine in $6 \sin (x) = - 1$ .

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{6 \sin (x)}{6} = \frac{- 1}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\sin (x) = - \frac{1}{6}$

Passaggio 3.3.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- \frac{1}{6})$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Calcola $\arcsin (- \frac{1}{6})$ .

$x = - 0.16744807$

Passaggio 3.3.2.5

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$

Passaggio 3.3.2.6

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 3.3.2.6.1

Sottrai $2 π$ da $2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ .

$x = 2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265 - 2 π$

Passaggio 3.3.2.6.2

L'angolo risultante di $3.30904073$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 (3.14159265) + 0.16744807 + 3.14159265$ .

$x = 3.30904073$

Passaggio 3.3.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.3.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.3.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.3.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.3.2.8

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.8.1

Somma $2 π$ a $- 0.16744807$ per trovare l'angolo positivo.

$- 0.16744807 + 2 π$

Passaggio 3.3.2.8.2

Sottrai $0.16744807$ da $2 π$ .

$6.11573722$

Passaggio 3.3.2.8.3

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = 6.11573722$

Passaggio 3.3.2.9

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.4

Imposta $4 \sin (x) - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.1

Imposta $4 \sin (x) - 1$ uguale a $0$ .

$4 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.4.2

Risolvi $4 \sin (x) - 1 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sin (x) = 1$

Passaggio 3.4.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 \sin (x) = 1$ .

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 \sin (x)}{4} = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4.2.2.2.1.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 3.4.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{4})$

Passaggio 3.4.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.4.1

Calcola $\arcsin (\frac{1}{4})$ .

$x = 0.25268025$

Passaggio 3.4.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Passaggio 3.4.2.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.4.2.6.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 3.14159265 - 0.25268025$

Passaggio 3.4.2.6.2

Rimuovi le parentesi.

$x = (3.14159265) - 0.25268025$

Passaggio 3.4.2.6.3

Sottrai $0.25268025$ da $3.14159265$ .

$x = 2.88891239$

Passaggio 3.4.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 3.4.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 3.4.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 3.4.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 3.4.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(6 \sin (x) + 1) (4 \sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = 3.30904073 + 2 π n, 6.11573722 + 2 π n, 0.25268025 + 2 π n, 2.88891239 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$