Trigonometria Esempi

$2 \sin (x) + \cot (x) = \csc (x)$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \csc (x)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 3

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $\sin (x)$ .

$\sin (x) (2 \sin (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)}) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 4

Applica la proprietà distributiva.

$\sin (x) (2 \sin (x)) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 5

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 6

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 6.1

Elimina il fattore comune.

$2 \sin (x) \sin (x) + \sin (x) \frac{\cos (x)}{\sin (x)} = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 6.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \sin (x) \sin (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7

Moltiplica $2 \sin (x) \sin (x)$ .

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Passaggio 7.1

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.2

Eleva $\sin (x)$ alla potenza di $1$ .

$2 (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x)) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$2 {\sin (x)}^{1 + 1} + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 7.4

Somma $1$ e $1$ .

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 8.1

Elimina il fattore comune.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = \sin (x) \frac{1}{\sin (x)}$

Passaggio 8.2

Riscrivi l'espressione.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) = 1$

Passaggio 9

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 10

Sostituisci $2 \sin^{2} (x)$ con $2 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 11

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 11.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 11.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 11.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 12

Sottrai $1$ da $2$ .

$- 2 \cos^{2} (x) + \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 13

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} + u + 1 = 0$

Passaggio 14

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 14.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 u^{2} + u + 1$ .

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Passaggio 14.1.1

Scomponi $- 1$ da $- 2 u^{2}$ .

$- (2 u^{2}) + u + 1 = 0$

Passaggio 14.1.2

Scomponi $- 1$ da $u$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) + 1 = 0$

Passaggio 14.1.3

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2}) - 1 (- u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 14.1.4

Scomponi $- 1$ da $- (2 u^{2}) - 1 (- u)$ .

$- (2 u^{2} - u) - 1 \cdot - 1 = 0$

Passaggio 14.1.5

Scomponi $- 1$ da $- (2 u^{2} - u) - 1 (- 1)$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Passaggio 14.2

Scomponi.

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Passaggio 14.2.1

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 14.2.1.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e la cui somma è $b = - 1$ .

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Passaggio 14.2.1.1.1

Scomponi $- 1$ da $- u$ .

$- (2 u^{2} - u - 1) = 0$

Passaggio 14.2.1.1.2

Riscrivi $- 1$ come $1$ più $- 2$ .

$- (2 u^{2} + (1 - 2) u - 1) = 0$

Passaggio 14.2.1.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$- (2 u^{2} + 1 u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 14.2.1.1.4

Moltiplica $u$ per $1$ .

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 14.2.1.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 14.2.1.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- (2 u^{2} + u - 2 u - 1) = 0$

Passaggio 14.2.1.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$- (u (2 u + 1) - (2 u + 1)) = 0$

Passaggio 14.2.1.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 u + 1$ .

$- ((2 u + 1) (u - 1)) = 0$

Passaggio 14.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$- (2 u + 1) (u - 1) = 0$

Passaggio 15

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

$u - 1 = 0$

Passaggio 16

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 16.1

Imposta $2 u + 1$ uguale a $0$ .

$2 u + 1 = 0$

Passaggio 16.2

Risolvi $2 u + 1 = 0$ per $u$ .

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Passaggio 16.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 u = - 1$

Passaggio 16.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ e semplifica.

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Passaggio 16.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 u = - 1$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 16.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 16.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 16.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 u}{2} = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 16.2.2.2.1.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{2}$

Passaggio 16.2.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 16.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1}{2}$

Passaggio 17

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 17.1

Imposta $u - 1$ uguale a $0$ .

$u - 1 = 0$

Passaggio 17.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = 1$

Passaggio 18

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- (2 u + 1) (u - 1) = 0$ vera.

$u = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 19

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}, 1$

Passaggio 20

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1}{2}$

$\cos (x) = 1$

Passaggio 21

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 21.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 21.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 21.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 21.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 21.4

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

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Passaggio 21.4.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 21.4.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 21.4.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 21.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 21.4.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 21.4.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 21.4.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 21.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 21.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 21.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 21.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 21.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 21.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 22

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = 1$ .

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Passaggio 22.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (1)$

Passaggio 22.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 22.2.1

Il valore esatto di $\arccos (1)$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 22.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - 0$

Passaggio 22.4

Sottrai $0$ da $2 π$ .

$x = 2 π$

Passaggio 22.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 22.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 22.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 22.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 22.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 22.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 23

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{2 π}{3} + 2 π n, \frac{4 π}{3} + 2 π n, 2 π n, 2 π + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 24

Consolida le risposte.

$x = \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$