Trigonometria Esempi

$\csc (3 x) = \sin (3 x)$

Passaggio 1

Dividi per $\csc (3 x)$ ciascun termine in $\csc (3 x) = \sin (3 x)$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Dividi per $\csc (3 x)$ ciascun termine in $\csc (3 x) = \sin (3 x)$ .

$\frac{\csc (3 x)}{\csc (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\csc (3 x)}$

Passaggio 1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Elimina il fattore comune di $\csc (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\csc (3 x)}{\csc (3 x)} = \frac{\sin (3 x)}{\csc (3 x)}$

Passaggio 1.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$1 = \frac{\sin (3 x)}{\csc (3 x)}$

Passaggio 1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riscrivi $\csc (3 x)$ in termini di seno e coseno.

$1 = \frac{\sin (3 x)}{\frac{1}{\sin (3 x)}}$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{\sin (3 x)}$ .

$1 = \sin (3 x) \sin (3 x)$

Passaggio 1.3.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.3.1

Eleva $\sin (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$1 = \sin^{1} (3 x) \sin (3 x)$

Passaggio 1.3.3.2

Eleva $\sin (3 x)$ alla potenza di $1$ .

$1 = \sin^{1} (3 x) \sin^{1} (3 x)$

Passaggio 1.3.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$1 = {\sin (3 x)}^{1 + 1}$

Passaggio 1.3.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$1 = \sin^{2} (3 x)$

Passaggio 2

Riscrivi l'equazione come $\sin^{2} (3 x) = 1$ .

$\sin^{2} (3 x) = 1$

Passaggio 3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\sin (3 x) = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 4

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\sin (3 x) = \pm 1$

Passaggio 5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\sin (3 x) = 1$

Passaggio 5.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\sin (3 x) = - 1$

Passaggio 5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\sin (3 x) = 1, - 1$

Passaggio 6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (3 x) = 1$

$\sin (3 x) = - 1$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\sin (3 x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arcsin (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 7.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 7.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 7.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 7.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 7.4

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$3 x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 7.5.1.4

Sottrai $π$ da $π \cdot 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 7.5.1.4.2

Sottrai $π$ da $2 \cdot π$ .

$3 x = \frac{π}{2}$

Passaggio 7.5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 7.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 7.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 7.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.5.2.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x = \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 7.5.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 7.6

Trova il periodo di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 7.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 7.7

Il periodo della funzione $\sin (3 x)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\sin (3 x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$3 x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$3 x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 8.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = - \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 8.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- \frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 8.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = - \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.3.3.2

Moltiplica $- \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = - \frac{π}{6}$

Passaggio 8.4

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 8.5

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 8.5.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$3 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 8.5.3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Passaggio 8.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Passaggio 8.5.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{3}$

Passaggio 8.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.5.3.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.3.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.5.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 8.5.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.6

Trova il periodo di $\sin (3 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 8.6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 3 |}$

Passaggio 8.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{2 π}{3}$

Passaggio 8.7

Somma $\frac{2 π}{3}$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.1

Somma $\frac{2 π}{3}$ a $- \frac{π}{6}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{6} + \frac{2 π}{3}$

Passaggio 8.7.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π}{3} \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{6}$

Passaggio 8.7.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $6$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.3.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{π}{6}$

Passaggio 8.7.3.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 8.7.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{6}$

Passaggio 8.7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.5.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{6}$

Passaggio 8.7.5.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{6}$

Passaggio 8.7.6

Elimina il fattore comune di $3$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.6.1

Scomponi $3$ da $3 π$ .

$\frac{3 (π)}{6}$

Passaggio 8.7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.7.6.2.1

Scomponi $3$ da $6$ .

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 8.7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{π}{2}$

Passaggio 8.7.7

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 8.8

Il periodo della funzione $\sin (3 x)$ è $\frac{2 π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{2 π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{2 π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$