Trigonometria Esempi

$\cos (2 x - \frac{π}{4}) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x - \frac{π}{4} = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 3

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = \frac{2 π}{3} + \frac{π}{4}$

Passaggio 3.2

Per scrivere $\frac{2 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 3.3

Per scrivere $\frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Moltiplica $\frac{2 π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 3.4.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Passaggio 3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$2 x = \frac{8 π + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 3.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$2 x = \frac{8 π + 3 \cdot π}{12}$

Passaggio 3.6.3

Somma $8 π$ e $3 π$ .

$2 x = \frac{11 π}{12}$

Passaggio 4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{11 π}{12}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{11 π}{12}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

Passaggio 4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

Passaggio 4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{11 π}{12}}{2}$

Passaggio 4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{11 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 4.3.2

Moltiplica $\frac{11 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Moltiplica $\frac{11 π}{12}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{11 π}{12 \cdot 2}$

Passaggio 4.3.2.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$x = \frac{11 π}{24}$

Passaggio 5

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Semplifica $2 π - \frac{2 π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{π}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.1.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.2.1

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 6.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 6.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1.3.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 6.1.3.2

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$2 x - \frac{π}{4} = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 6.2

Sposta tutti i termini non contenenti $x$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma $\frac{π}{4}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = \frac{4 π}{3} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $\frac{4 π}{3}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 6.2.3

Per scrivere $\frac{π}{4}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $12$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Moltiplica $\frac{4 π}{3}$ per $\frac{4}{4}$ .

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.4.2

Moltiplica $3$ per $4$ .

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π}{4} \cdot \frac{3}{3}$

Passaggio 6.2.4.3

Moltiplica $\frac{π}{4}$ per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{4 \cdot 3}$

Passaggio 6.2.4.4

Moltiplica $4$ per $3$ .

$2 x = \frac{4 π \cdot 4}{12} + \frac{π \cdot 3}{12}$

Passaggio 6.2.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{4 π \cdot 4 + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Moltiplica $4$ per $4$ .

$2 x = \frac{16 π + π \cdot 3}{12}$

Passaggio 6.2.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$2 x = \frac{16 π + 3 \cdot π}{12}$

Passaggio 6.2.6.3

Somma $16 π$ e $3 π$ .

$2 x = \frac{19 π}{12}$

Passaggio 6.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{19 π}{12}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{19 π}{12}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

Passaggio 6.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

Passaggio 6.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{19 π}{12}}{2}$

Passaggio 6.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{19 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 6.3.3.2

Moltiplica $\frac{19 π}{12} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{19 π}{12}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{19 π}{12 \cdot 2}$

Passaggio 6.3.3.2.2

Moltiplica $12$ per $2$ .

$x = \frac{19 π}{24}$

Passaggio 7

Trova il periodo di $\cos (2 x - \frac{π}{4})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 8

Il periodo della funzione $\cos (2 x - \frac{π}{4})$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{11 π}{24} + π n, \frac{19 π}{24} + π n$ , per qualsiasi intero $n$