Trigonometria Esempi

$\ln (x) + \ln ({(x)}^{2}) = 6$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Passaggio 1.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.2.1

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

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Passaggio 1.2.1.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\ln (x \cdot x^{2}) = 6$

Passaggio 1.2.1.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\ln (x^{1 + 2}) = 6$

Passaggio 1.2.2

Somma $1$ e $2$ .

$\ln (x^{3}) = 6$

Passaggio 2

Per risolvere per $x$ , riscrivi l'equazione utilizzando le proprietà dei logaritmi.

$e^{\ln (x^{3})} = e^{6}$

Passaggio 3

Riscrivi $\ln (x^{3}) = 6$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{6} = x^{3}$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'equazione come $x^{3} = e^{6}$ .

$x^{3} = e^{6}$

Passaggio 4.2

Sottrai $e^{6}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} - e^{6} = 0$

Passaggio 4.3

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.3.1

Riscrivi $e^{6}$ come ${(e^{2})}^{3}$ .

$x^{3} - {(e^{2})}^{3} = 0$

Passaggio 4.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di cubi, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = e^{2}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + {(e^{2})}^{2}) = 0$

Passaggio 4.3.3

Semplifica.

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Passaggio 4.3.3.1

Moltiplica gli esponenti in ${(e^{2})}^{2}$ .

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Passaggio 4.3.3.1.1

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{2 \cdot 2}) = 0$

Passaggio 4.3.3.1.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$(x - e^{2}) (x^{2} + x e^{2} + e^{4}) = 0$

Passaggio 4.3.3.2

Riordina i termini.

$(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$

Passaggio 4.4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - e^{2} = 0$

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Passaggio 4.5

Imposta $x - e^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.5.1

Imposta $x - e^{2}$ uguale a $0$ .

$x - e^{2} = 0$

Passaggio 4.5.2

Somma $e^{2}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = e^{2}$

Passaggio 4.6

Imposta $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.6.1

Imposta $e^{4} + x^{2} + e^{2} x$ uguale a $0$ .

$e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$

Passaggio 4.6.2

Risolvi $e^{4} + x^{2} + e^{2} x = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.6.2.1

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 4.6.2.2

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = e^{2}$ e $c = e^{4}$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3

Semplifica.

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Passaggio 4.6.2.3.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.6.2.3.1.1

Riscrivi $4 \cdot 1 \cdot e^{4}$ come ${(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(e^{2})}^{2} - {(2 \cdot 1 \cdot e^{2})}^{2}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = e^{2}$ e $b = 2 \cdot 1 \cdot e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot 1 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.3

Semplifica.

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Passaggio 4.6.2.3.1.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{(e^{2} + 2 \cdot e^{2}) (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.3.2

Somma $e^{2}$ e $2 e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot 1 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.3.3

Raccogli gli esponenti.

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Passaggio 4.6.2.3.1.3.3.1

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - (2 \cdot e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.3.3.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} (e^{2} - 2 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.4

Sottrai $2 e^{2}$ da $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{3 e^{2} \cdot (- 1 e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.5

Raccogli gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.3.1.5.1

Metti in evidenza il valore negativo.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2} e^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.5.2

Moltiplica $e^{2}$ per $e^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.6.2.3.1.5.2.1

Sposta $e^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 (e^{2} e^{2}))}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.5.2.2

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{2 + 2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.5.2.3

Somma $2$ e $2$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.5.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.6

Riscrivi $- 3 e^{4}$ come ${(i e^{2})}^{2} \cdot 3$ .

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Passaggio 4.6.2.3.1.6.1

Riscrivi $- 3$ come $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{- 1 \cdot 3 e^{4}}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.6.2

Riscrivi $- 1$ come $i^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 e^{4})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.6.3

Riscrivi $e^{4}$ come ${(e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} \cdot (3 {(e^{2})}^{2})}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.6.4

Sposta $3$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{i^{2} {(e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.6.5

Riscrivi $i^{2} {(e^{2})}^{2}$ come ${(i e^{2})}^{2}$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm \sqrt{{(i e^{2})}^{2} \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.1.7

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 4.6.2.3.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{- e^{2} \pm i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.6.2.4

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$

Passaggio 4.7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(x - e^{2}) (e^{4} + x^{2} + e^{2} x) = 0$ vera.

$x = e^{2}, - \frac{e^{2} - i e^{2} \sqrt{3}}{2}, - \frac{e^{2} + i e^{2} \sqrt{3}}{2}$