Trigonometria Esempi

$\tan (\frac{x}{2}) - 1 = 0$ , $0 < x < 2 π$

Passaggio 1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\tan (\frac{x}{2}) = 1$

Passaggio 2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$\frac{x}{2} = \arctan (1)$

Passaggio 3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$\frac{x}{2} = \frac{π}{4}$

Passaggio 4

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 5

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 5.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 \frac{π}{4}$

Passaggio 5.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 2 \frac{π}{2 (2)}$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$\frac{x}{2} = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 7.1

Moltiplica entrambi i lati dell'equazione per $2$ .

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Passaggio 7.2

Semplifica entrambi i lati dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1.1

Elimina il fattore comune.

$2 \frac{x}{2} = 2 (π + \frac{π}{4})$

Passaggio 7.2.1.1.2

Riscrivi l'espressione.

$x = 2 (π + \frac{π}{4})$

Passaggio 7.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Semplifica $2 (π + \frac{π}{4})$ .

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Passaggio 7.2.2.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4})$

Passaggio 7.2.2.1.2

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = 2 (\frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4})$

Passaggio 7.2.2.1.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 7.2.2.1.2.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.2.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 (2)}$

Passaggio 7.2.2.1.2.3.2

Elimina il fattore comune.

$x = 2 \frac{π \cdot 4 + π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 7.2.2.1.2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 7.2.2.1.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{2}$

Passaggio 8

Trova il periodo di $\tan (\frac{x}{2})$ .

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Passaggio 8.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 8.2

Sostituisci $b$ con $\frac{1}{2}$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| \frac{1}{2} |}$

Passaggio 8.3

$\frac{1}{2}$ corrisponde approssimativamente a $0.5$ , che è un valore positivo, perciò elimina il valore assoluto

$\frac{π}{\frac{1}{2}}$

Passaggio 8.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$π \cdot 2$

Passaggio 8.5

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$2 π$

Passaggio 9

Il periodo della funzione $\tan (\frac{x}{2})$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Collega $0$ per $n$ e semplifica per vedere se la soluzione è contenuta in $(0, 2 π)$ .

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Passaggio 11.1

Collega $0$ per $n$ .

$\frac{π}{2} + 2 π (0)$

Passaggio 11.2

Semplifica.

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Passaggio 11.2.1

Moltiplica $2 π (0)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Moltiplica $0$ per $2$ .

$\frac{π}{2} + 0 π$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $0$ per $π$ .

$\frac{π}{2} + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $\frac{π}{2}$ e $0$ .

$\frac{π}{2}$

Passaggio 11.3

L'intervallo $(0, 2 π)$ contiene $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$