Trigonometria Esempi

$4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Passaggio 1

Trova la forma standard dell'iperbole.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Completa il quadrato per $4 y^{2} - 8 y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = 4$

$b = - 8$

$c = 0$

Passaggio 1.1.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.1.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{- 8}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $- 8$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot 4$ .

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 (4)}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot - 4}{2 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 4}{4}$

Passaggio 1.1.3.2.2

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.2.2.2.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 (1)}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{4 \cdot - 1}{4 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{- 1}{1}$

Passaggio 1.1.3.2.2.2.4

Dividi $- 1$ per $1$ .

$d = - 1$

Passaggio 1.1.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{{(- 8)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.2.1.1

Eleva $- 8$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{64}{4 \cdot 4}$

Passaggio 1.1.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $4$ .

$e = 0 - \frac{64}{16}$

Passaggio 1.1.4.2.1.3

Dividi $64$ per $16$ .

$e = 0 - 1 \cdot 4$

Passaggio 1.1.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$e = 0 - 4$

Passaggio 1.1.4.2.2

Sottrai $4$ da $0$ .

$e = - 4$

Passaggio 1.1.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4$

Passaggio 1.2

Sostituisci $4 y^{2} - 8 y$ con $4 {(y - 1)}^{2} - 4$ nell'equazione $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 4 - 25 x^{2} + 100 x = 196$

Passaggio 1.3

Sposta $- 4$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $4$ a entrambi i lati.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 x^{2} + 100 x = 196 + 4$

Passaggio 1.4

Completa il quadrato per $- 25 x^{2} + 100 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Utilizza la forma $a x^{2} + b x + c$ per trovare i valori di $a$ , $b$ e $c$ .

$a = - 25$

$b = 100$

$c = 0$

Passaggio 1.4.2

Considera la forma del vertice di una parabola.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Passaggio 1.4.3

Trova il valore di $d$ usando la formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.1

Sostituisci i valori di $a$ e $b$ nella formula $d = \frac{b}{2 a}$ .

$d = \frac{100}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.4.3.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1

Elimina il fattore comune di $100$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.1

Scomponi $2$ da $100$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.4.3.2.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 \cdot - 25$ .

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 (- 25)}$

Passaggio 1.4.3.2.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$d = \frac{2 \cdot 50}{2 \cdot - 25}$

Passaggio 1.4.3.2.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$d = \frac{50}{- 25}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Elimina il fattore comune di $50$ e $- 25$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.3.2.2.1

Scomponi $25$ da $50$ .

$d = \frac{25 (2)}{- 25}$

Passaggio 1.4.3.2.2.2

Sposta quello negativo dal denominatore di $\frac{2}{- 1}$ .

$d = - 1 \cdot 2$

Passaggio 1.4.3.2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$d = - 2$

Passaggio 1.4.4

Trova il valore di $e$ usando la formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.1

Sostituisci i valori di $c$ , $b$ e $a$ nella formula $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

$e = 0 - \frac{100^{2}}{4 \cdot - 25}$

Passaggio 1.4.4.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.4.2.1.1

Eleva $100$ alla potenza di $2$ .

$e = 0 - \frac{10000}{4 \cdot - 25}$

Passaggio 1.4.4.2.1.2

Moltiplica $4$ per $- 25$ .

$e = 0 - \frac{10000}{- 100}$

Passaggio 1.4.4.2.1.3

Dividi $10000$ per $- 100$ .

$e = 0 - - 100$

Passaggio 1.4.4.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 100$ .

$e = 0 + 100$

Passaggio 1.4.4.2.2

Somma $0$ e $100$ .

$e = 100$

Passaggio 1.4.5

Sostituisci i valori di $a$ , $d$ e $e$ nella forma del vertice di $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ .

$- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$

Passaggio 1.5

Sostituisci $- 25 x^{2} + 100 x$ con $- 25 {(x - 2)}^{2} + 100$ nell'equazione $4 y^{2} - 8 y - 25 x^{2} + 100 x = 196$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} + 100 = 196 + 4$

Passaggio 1.6

Sposta $100$ sul lato destro dell'equazione aggiungendo $100$ a entrambi i lati.

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 196 + 4 - 100$

Passaggio 1.7

Semplifica $196 + 4 - 100$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Somma $196$ e $4$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 200 - 100$

Passaggio 1.7.2

Sottrai $100$ da $200$ .

$4 {(y - 1)}^{2} - 25 {(x - 2)}^{2} = 100$

Passaggio 1.8

Dividi per $100$ ciascun termine per rendere il lato destro uguale a uno.

$\frac{4 {(y - 1)}^{2}}{100} - \frac{25 {(x - 2)}^{2}}{100} = \frac{100}{100}$

Passaggio 1.9

Semplifica ogni termine nell'equazione per impostare il lato destro pari a $1$ . La forma standard di un ellissi o iperbole richiede che il lato destro dell'equazione sia $1$ .

$\frac{{(y - 1)}^{2}}{25} - \frac{{(x - 2)}^{2}}{4} = 1$

Passaggio 2

Questa è la forma di un'iperbole. Usa la forma per determinare i valori usati per trovare gli asintoti dell'iperbole.

$\frac{{(y - k)}^{2}}{a^{2}} - \frac{{(x - h)}^{2}}{b^{2}} = 1$

Passaggio 3

Abbina i valori di questa iperbole a quelli della forma standard. La variabile $h$ rappresenta lo spostamento x dall'origine, $k$ rappresenta lo spostamento y dall'origine, $a$ .

$a = 5$

$b = 2$

$k = 1$

$h = 2$

Passaggio 4

Gli asintoti seguono la forma $y = \pm \frac{a (x - h)}{b} + k$ perché questa iperbole sia apre in alto e in basso.

$y = \pm \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Passaggio 5

Semplifica per trovare il primo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Rimuovi le parentesi.

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Passaggio 5.2

Semplifica $\frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Passaggio 5.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = \frac{5}{2} x + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Passaggio 5.2.1.3

$\frac{5}{2}$ e $x$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Passaggio 5.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Passaggio 5.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$y = \frac{5 x}{2} + \frac{5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Passaggio 5.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y = \frac{5 x}{2} + 5 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 5.2.1.5

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 5 + 1$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 5$ e $1$ .

$y = \frac{5 x}{2} - 4$

Passaggio 6

Semplifica per trovare il secondo asintoto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Rimuovi le parentesi.

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$

Passaggio 6.2

Semplifica $- \frac{5}{2} \cdot (x - (2)) + 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$y = - \frac{5}{2} \cdot (x - 2) + 1$

Passaggio 6.2.1.2

Applica la proprietà distributiva.

$y = - \frac{5}{2} x - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Passaggio 6.2.1.3

$x$ e $\frac{5}{2}$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - \frac{5}{2} \cdot - 2 + 1$

Passaggio 6.2.1.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.4.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{5}{2}$ nel numeratore.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot - 2 + 1$

Passaggio 6.2.1.4.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 (- 1)) + 1$

Passaggio 6.2.1.4.3

Elimina il fattore comune.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + \frac{- 5}{2} \cdot (2 \cdot - 1) + 1$

Passaggio 6.2.1.4.4

Riscrivi l'espressione.

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} - 5 \cdot - 1 + 1$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 5$ per $- 1$ .

$y = - \frac{x \cdot 5}{2} + 5 + 1$

Passaggio 6.2.1.6

Sposta $5$ alla sinistra di $x$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 5 + 1$

Passaggio 6.2.2

Somma $5$ e $1$ .

$y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Passaggio 7

Questa iperbole ha due asintoti.

$y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Passaggio 8

Gli asintoti sono $y = \frac{5 x}{2} - 4$ e $y = - \frac{5 x}{2} + 6$ .

Asintoti: $y = \frac{5 x}{2} - 4, y = - \frac{5 x}{2} + 6$

Passaggio 9