Trigonometria Esempi

$4 \sin^{2} (x) = 2 \cos (x) + 1$

Passaggio 1

Sposta tutte le espressioni sul lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 1.1

Sottrai $2 \cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) = 1$

Passaggio 1.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 \sin^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $4 \sin^{2} (x)$ con $4 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$4 (1 - \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.1

Applica la proprietà distributiva.

$4 \cdot 1 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 + 4 (- \cos^{2} (x)) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Moltiplica $- 1$ per $4$ .

$4 - 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) - 1 = 0$

Passaggio 4

Sottrai $1$ da $4$ .

$- 4 \cos^{2} (x) - 2 \cos (x) + 3 = 0$

Passaggio 5

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$- 4 {(u)}^{2} - 2 u + 3 = 0$

Passaggio 6

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 7

Sostituisci i valori $a = - 4$ , $b = - 2$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (- 4 \cdot 3)}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 4 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 4 \cdot 3$ .

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Passaggio 8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 16 \cdot 3}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8.1.2.2

Moltiplica $16$ per $3$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 48}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8.1.3

Somma $4$ e $48$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8.1.4

Riscrivi $52$ come $2^{2} \cdot 13$ .

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Passaggio 8.1.4.1

Scomponi $4$ da $52$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{4 (13)}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 13}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{2 \cdot - 4}$

Passaggio 8.2

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$u = \frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$

Passaggio 8.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{13}}{- 8}$ .

$u = \frac{1 \pm \sqrt{13}}{- 4}$

Passaggio 8.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{1 \pm \sqrt{13}}{4}$

Passaggio 9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Passaggio 10

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}, - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Passaggio 11

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$

$\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ .

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Passaggio 12.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- \frac{1 + \sqrt{13}}{4}$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 13

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{1 - \sqrt{13}}{4}$ .

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Passaggio 13.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$

Passaggio 13.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 13.2.1

Calcola $\arccos (- \frac{1 - \sqrt{13}}{4})$ .

$x = 0.86138422$

Passaggio 13.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Passaggio 13.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 13.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 0.86138422$

Passaggio 13.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 0.86138422$ .

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Passaggio 13.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 0.86138422$

Passaggio 13.4.2.2

Sottrai $0.86138422$ da $6.2831853$ .

$x = 5.42180108$

Passaggio 13.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 13.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 13.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 13.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 13.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 13.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 0.86138422 + 2 π n, 5.42180108 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$