Trigonometria Esempi

$r^{2} = - 4 \cos (2 x)$

Passaggio 1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$r = \pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$

Passaggio 2

Semplifica $\pm \sqrt{- 4 \cos (2 x)}$ .

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Passaggio 2.1

Riscrivi $- 4 \cos (2 x)$ come $2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Scomponi $4$ da $- 4$ .

$r = \pm \sqrt{4 (- 1) \cos (2 x)}$

Passaggio 2.1.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot - 1 \cos (2 x)}$

Passaggio 2.1.3

Aggiungi le parentesi.

$r = \pm \sqrt{2^{2} \cdot (- 1 \cos (2 x))}$

Passaggio 2.2

Estrai i termini dal radicale.

$r = \pm 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Passaggio 3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Passaggio 3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

$r = - 2 \sqrt{- 1 \cos (2 x)}$

Passaggio 4

Imposta il radicando in $\sqrt{- 1 \cos (2 x)}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$- 1 \cos (2 x) \geq 0$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- 1 \cos (2 x) \geq 0$ . Quando moltiplichi o dividi entrambi i lati di una diseguaglianza per un valore negativo, inverti il verso della diseguaglianza.

$\frac{- 1 \cos (2 x)}{- 1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.1.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\cos (2 x)}{1} \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.1.2.2

Dividi $\cos (2 x)$ per $1$ .

$\cos (2 x) \leq \frac{0}{- 1}$

Passaggio 5.1.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.3.1

Dividi $0$ per $- 1$ .

$\cos (2 x) \leq 0$

Passaggio 5.2

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x \leq \arccos (0)$

Passaggio 5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Il valore esatto di $\arccos (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$2 x \leq \frac{π}{2}$

Passaggio 5.4

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \leq \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x \leq \frac{π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 5.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 5.4.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x \leq \frac{\frac{π}{2}}{2}$

Passaggio 5.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x \leq \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.4.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x \leq \frac{π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.4.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x \leq \frac{π}{4}$

Passaggio 5.5

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.6

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.6.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.6.1.2

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.6.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.6.1.4

Moltiplica $2$ per $2$ .

$2 x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.6.1.5

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$2 x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.6.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{3 π}{2}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 5.6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 5.6.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 π}{2}}{2}$

Passaggio 5.6.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6.2.3.2

Moltiplica $\frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{3 π}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{3 π}{2 \cdot 2}$

Passaggio 5.6.2.3.2.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 5.7

Trova il periodo di $\cos (2 x)$ .

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Passaggio 5.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.7.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 5.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 5.7.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 5.7.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 5.8

Il periodo della funzione $\cos (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.9

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5.10

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$

Passaggio 5.11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 5.11.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 5.11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 5.11.1.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$- 1 \cos (2 (2)) \geq 0$

Passaggio 5.11.1.3

Il lato sinistro di $0.65364362$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 5.11.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 5.11.2.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$- 1 \cos (2 (3)) \geq 0$

Passaggio 5.11.2.3

Il lato sinistro di $- 0.96017028$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

Falso

Passaggio 5.11.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Vero

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

$\frac{π}{4} < x < \frac{3 π}{4}$ Vero

$\frac{3 π}{4} < x < \frac{5 π}{4}$ Falso

Passaggio 5.12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{4} + π n \leq x \leq \frac{3 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x = \frac{π}{4} + π n, x = \frac{3 π}{4} + π n}$

Passaggio 7