Trigonometria Esempi

$\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$

Passaggio 1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \frac{x}{\sqrt{2}})$ . Perciò, $\csc (\arctan (\frac{x}{\sqrt{2}}))$ è $\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}}}{\frac{x}{\sqrt{2}}}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 3

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{x}{\sqrt{2}}$ per $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.2

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.3

Eleva $\sqrt{2}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.5

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2^{1}})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 4.6.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{1 + {(\frac{x \sqrt{2}}{2})}^{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x \sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{{(x \sqrt{2})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 5.2

Applica la regola del prodotto a $x \sqrt{2}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 6

Riscrivi ${\sqrt{2}}^{2}$ come $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{2}$ come $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} {(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2^{1}}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 6.5

Calcola l'esponente.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{2^{2}}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\sqrt{1 + \frac{x^{2} \cdot 2}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 8

Elimina il fattore comune di $2$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Scomponi $2$ da $x^{2} \cdot 2$ .

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{4}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 8.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 8.2.2

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{1 + \frac{2 \cdot x^{2}}{2 \cdot 2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{1 + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 9

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{2}{2} + \frac{x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}} \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 11

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + x^{2}}{2}}$ come $\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{x}$

Passaggio 12

Combina.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

Passaggio 13

Elimina il fattore comune di $\sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}} \sqrt{2}}{\sqrt{2} x}$

Passaggio 13.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{\sqrt{2 + x^{2}}}{x}$