Trigonometria Esempi

$\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$

Passaggio 1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, 0)$ e l'origine. Poi $\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}, \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})$ . Perciò, $\cot (\arcsin (\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}))$ è $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$ .

$\frac{\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}}}{\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{1 - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{1^{2} - {(\frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ .

$\sqrt{(1 + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{(\frac{x}{x} + \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x}) (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5.3

Riscrivi $\frac{x + \sqrt{x^{2} - 9}}{x}$ in una forma fattorizzata.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5.3.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 9}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5.4.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (1 - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5.5

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} (\frac{x}{x} - \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x})} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 5.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x} \cdot \frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ per $\frac{x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x}$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x \cdot x}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 7

Espandi $(x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{x (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (x - \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)}) + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Riordina i fattori nei termini di $x (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})$ e $\sqrt{(x + 3) (x - 3)} x$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x - x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + x \sqrt{(x + 3) (x - 3)} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.1.2

Somma $- x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ e $x \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + 0 + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.1.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{x \cdot x + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} + \sqrt{(x + 3) (x - 3)} (- \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{\frac{x^{2} - \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.3

Moltiplica $- \sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.3.1

Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.3.2

Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - ({\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1})}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.3.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.3.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.4

Riscrivi ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ come $(x + 3) (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ come ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.4.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.4.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.4.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.4.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.4.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{x^{2} - {((x + 3) (x - 3))}^{1}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.4.5

Semplifica.

$\sqrt{\frac{x^{2} - ((x + 3) (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.5

Espandi $(x + 3) (x - 3)$ usando il metodo FOIL.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x (x - 3) + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.5.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 (x - 3))}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.5.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.6

Combina i termini opposti in $x \cdot x + x \cdot - 3 + 3 x + 3 \cdot - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.6.1

Riordina i fattori nei termini di $x \cdot - 3$ e $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x - 3 x + 3 x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.6.2

Somma $- 3 x$ e $3 x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 0 + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.6.3

Somma $x \cdot x$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x \cdot x + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.7

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.7.1

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} + 3 \cdot - 3)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.7.2

Moltiplica $3$ per $- 3$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - (x^{2} - 9)}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.8

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} - - 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.2.9

Moltiplica $- 1$ per $- 9$ .

$\sqrt{\frac{x^{2} - x^{2} + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.3

Semplifica aggiungendo i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Sottrai $x^{2}$ da $x^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.3.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.2.1

Somma $0$ e $9$ .

$\sqrt{\frac{9}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 8.3.2.2

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\sqrt{\frac{3^{2}}{x^{2}}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 9

Riscrivi $\frac{3^{2}}{x^{2}}$ come ${(\frac{3}{x})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{3}{x})}^{2}} \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{3}{x} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 11

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Combina.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 11.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{x \sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 11.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 9}}$

Passaggio 12

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$\frac{3}{\sqrt{x^{2} - 3^{2}}}$

Passaggio 12.2

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = x$ e $b = 3$ .

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Passaggio 13

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}} \cdot \frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Passaggio 14

Combina e semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{3}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ per $\frac{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{\sqrt{(x + 3) (x - 3)} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Passaggio 14.2

Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}$

Passaggio 14.3

Eleva $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1} {\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1}}$

Passaggio 14.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{1 + 1}}$

Passaggio 14.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}}$

Passaggio 14.6

Riscrivi ${\sqrt{(x + 3) (x - 3)}}^{2}$ come $(x + 3) (x - 3)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{(x + 3) (x - 3)}$ come ${((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{({((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 14.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 14.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{{((x + 3) (x - 3))}^{1}}$

Passaggio 14.6.5

Semplifica.

$\frac{3 \sqrt{(x + 3) (x - 3)}}{(x + 3) (x - 3)}$