Trigonometria Esempi

$\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$

Passaggio 1

Disegna un triangolo sul piano con i vertici $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e l'origine. Poi $arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})$ è l'angolo tra l'asse x positivo e il raggio che inizia dall'origine e passa attraverso $(1, \sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}})$ . Perciò, $\sin (arcsec (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}))$ è $\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$ .

$\frac{\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1}}{\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}}$

Passaggio 2

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 3

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u})}^{2} - 1^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u}$ e $b = 1$ .

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + 1) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\sqrt{(\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{u}{u}) (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1)} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 5.3

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} - 1 \cdot \frac{u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 5.4

$- 1$ e $\frac{u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} (\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{u} + \frac{- u}{u})} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 5.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} + u}{u}$ per $\frac{\sqrt{u^{2} + 25} - u}{u}$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u \cdot u}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 6.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$\sqrt{\frac{(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 7

Espandi $(\sqrt{u^{2} + 25} + u) (\sqrt{u^{2} + 25} - u)$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 7.1

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} (\sqrt{u^{2} + 25} - u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u (\sqrt{u^{2} + 25} - u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8

Semplifica i termini.

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Passaggio 8.1

Combina i termini opposti in $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + \sqrt{u^{2} + 25} (- u) + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)$ .

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Passaggio 8.1.1

Riordina i fattori nei termini di $\sqrt{u^{2} + 25} (- u)$ e $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} - u \sqrt{u^{2} + 25} + u \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.1.2

Somma $- u \sqrt{u^{2} + 25}$ e $u \sqrt{u^{2} + 25}$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + 0 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.1.3

Somma $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ e $0$ .

$\sqrt{\frac{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}$ .

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Passaggio 8.2.1.1

Eleva $\sqrt{u^{2} + 25}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.1.2

Eleva $\sqrt{u^{2} + 25}$ alla potenza di $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.1.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.1.4

Somma $1$ e $1$ .

$\sqrt{\frac{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ come $u^{2} + 25$ .

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Passaggio 8.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u^{2} + 25}$ come ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{\frac{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.2.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.2.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.2.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 8.2.2.4.1

Elimina il fattore comune.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.2.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\sqrt{\frac{{(u^{2} + 25)}^{1} + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.2.5

Semplifica.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 + u (- u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.3

Riscrivi utilizzando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u \cdot u}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.4

Moltiplica $u$ per $u$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 8.2.4.1

Sposta $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - (u \cdot u)}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.2.4.2

Moltiplica $u$ per $u$ .

$\sqrt{\frac{u^{2} + 25 - u^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.3

Semplifica aggiungendo i termini.

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Passaggio 8.3.1

Combina i termini opposti in $u^{2} + 25 - u^{2}$ .

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Passaggio 8.3.1.1

Sottrai $u^{2}$ da $u^{2}$ .

$\sqrt{\frac{0 + 25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.3.1.2

Somma $0$ e $25$ .

$\sqrt{\frac{25}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 8.3.2

Riscrivi $25$ come $5^{2}$ .

$\sqrt{\frac{5^{2}}{u^{2}}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 9

Riscrivi $\frac{5^{2}}{u^{2}}$ come ${(\frac{5}{u})}^{2}$ .

$\sqrt{{(\frac{5}{u})}^{2}} \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 10

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{5}{u} \cdot \frac{u}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 11

Combina.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 12

Elimina il fattore comune di $u$ .

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Passaggio 12.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 u}{u \sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 12.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 13

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ per $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}} \cdot \frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 14

Combina e semplifica il denominatore.

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Passaggio 14.1

Moltiplica $\frac{5}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ per $\frac{\sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{\sqrt{u^{2} + 25} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 14.2

Eleva $\sqrt{u^{2} + 25}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} \sqrt{u^{2} + 25}}$

Passaggio 14.3

Eleva $\sqrt{u^{2} + 25}$ alla potenza di $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1} {\sqrt{u^{2} + 25}}^{1}}$

Passaggio 14.4

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{1 + 1}}$

Passaggio 14.5

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}}$

Passaggio 14.6

Riscrivi ${\sqrt{u^{2} + 25}}^{2}$ come $u^{2} + 25$ .

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Passaggio 14.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{u^{2} + 25}$ come ${(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{({(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Passaggio 14.6.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Passaggio 14.6.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 14.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 14.6.4.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{{(u^{2} + 25)}^{1}}$

Passaggio 14.6.5

Semplifica.

$\frac{5 \sqrt{u^{2} + 25}}{u^{2} + 25}$