Trigonometria Esempi

$\frac{x + 32}{x^{2} + 24 x + 128}$

Passaggio 1

Scomponi la frazione e moltiplica per il comune denominatore.

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Passaggio 1.1

Scomponi $x^{2} + 24 x + 128$ usando il metodo AC.

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Passaggio 1.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $128$ e la cui somma è $24$ .

$8, 16$

Passaggio 1.1.2

Scrivi la forma fattorizzata utilizzando questi interi.

$\frac{x + 32}{(x + 8) (x + 16)}$

Passaggio 1.2

Per ciascun fattore nel denominatore, crea una nuova frazione usando il fattore come denominatore e un valore sconosciuto come numeratore. Poiché il fattore nel denominatore è lineare, inserisci una singola variabile al suo posto $A$ .

$\frac{A}{x + 8}$

Passaggio 1.3

$\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$

Passaggio 1.4

Moltiplica ogni frazione nell'equazione per il denominatore dell'espressione originale. In questo caso, il denominatore è $(x + 8) (x + 16)$ .

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.5

Elimina il fattore comune di $x + 8$ .

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Passaggio 1.5.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 32) (x + 8) (x + 16)}{(x + 8) (x + 16)} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.6

Elimina il fattore comune di $x + 16$ .

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Passaggio 1.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{(x + 32) (x + 16)}{x + 16} = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.6.2

Dividi $x + 32$ per $1$ .

$x + 32 = \frac{(A) (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.7

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.7.1

Elimina il fattore comune di $x + 8$ .

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Passaggio 1.7.1.1

Elimina il fattore comune.

$x + 32 = \frac{A (x + 8) (x + 16)}{x + 8} + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.7.1.2

Dividi $(A) (x + 16)$ per $1$ .

$x + 32 = (A) (x + 16) + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.7.2

Applica la proprietà distributiva.

$x + 32 = A x + A \cdot 16 + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.7.3

Sposta $16$ alla sinistra di $A$ .

$x + 32 = A x + 16 \cdot A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.7.4

Elimina il fattore comune di $x + 16$ .

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Passaggio 1.7.4.1

Elimina il fattore comune.

$x + 32 = A x + 16 A + \frac{(B) (x + 8) (x + 16)}{x + 16}$

Passaggio 1.7.4.2

Dividi $(B) (x + 8)$ per $1$ .

$x + 32 = A x + 16 A + (B) (x + 8)$

Passaggio 1.7.5

Applica la proprietà distributiva.

$x + 32 = A x + 16 A + B x + B \cdot 8$

Passaggio 1.7.6

Sposta $8$ alla sinistra di $B$ .

$x + 32 = A x + 16 A + B x + 8 B$

Passaggio 1.8

Sposta $16 A$ .

$x + 32 = A x + B x + 16 A + 8 B$

Passaggio 2

Crea equazioni per le variabili della frazione parziale e usali per impostare un sistema di equazioni.

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Passaggio 2.1

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti di $x$ da ogni lato dell'equazione. Affinché l'equazione sia tale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$1 = A + B$

Passaggio 2.2

Crea un'equazione per le variabili della frazione parziale equiparando i coefficienti dei termini che non contengono $x$ . Affinché l'equazione sia uguale, i coefficienti equivalenti su ogni lato dell'equazione devono essere uguali.

$32 = 16 A + 8 B$

Passaggio 2.3

Imposta il sistema di equazioni per trovare i coefficienti delle frazioni parziali.

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

$1 = A + B$

$32 = 16 A + 8 B$

Passaggio 3

Risolvi il sistema di equazioni.

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Passaggio 3.1

Risolvi per $A$ in $1 = A + B$ .

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Passaggio 3.1.1

Riscrivi l'equazione come $A + B = 1$ .

$A + B = 1$

$32 = 16 A + 8 B$

Passaggio 3.1.2

Sottrai $B$ da entrambi i lati dell'equazione.

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 A + 8 B$

Passaggio 3.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ con $1 - B$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.2.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $A$ in $32 = 16 A + 8 B$ con $1 - B$ .

$32 = 16 (1 - B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.2.2.1

Semplifica $16 (1 - B) + 8 B$ .

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Passaggio 3.2.2.1.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.2.1.1.1

Applica la proprietà distributiva.

$32 = 16 \cdot 1 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.2

Moltiplica $16$ per $1$ .

$32 = 16 + 16 (- B) + 8 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.1.3

Moltiplica $- 1$ per $16$ .

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 16 B + 8 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.2.2.1.2

Somma $- 16 B$ e $8 B$ .

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

$32 = 16 - 8 B$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3

Risolvi per $B$ in $32 = 16 - 8 B$ .

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Passaggio 3.3.1

Riscrivi l'equazione come $16 - 8 B = 32$ .

$16 - 8 B = 32$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2

Sposta tutti i termini non contenenti $B$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.3.2.1

Sottrai $16$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 8 B = 32 - 16$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.2.2

Sottrai $16$ da $32$ .

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

$- 8 B = 16$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 B = 16$ e semplifica.

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Passaggio 3.3.3.1

Dividi per $- 8$ ciascun termine in $- 8 B = 16$ .

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.3.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 8$ .

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Passaggio 3.3.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 8 B}{- 8} = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.2.1.2

Dividi $B$ per $1$ .

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

$B = \frac{16}{- 8}$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.3.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.3.3.3.1

Dividi $16$ per $- 8$ .

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

$B = - 2$

$A = 1 - B$

Passaggio 3.4

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ con $- 2$ in ogni equazione.

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Passaggio 3.4.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $B$ in $A = 1 - B$ con $- 2$ .

$A = 1 - (- 2)$

$B = - 2$

Passaggio 3.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.4.2.1

Semplifica $1 - (- 2)$ .

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Passaggio 3.4.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per $- 2$ .

$A = 1 + 2$

$B = - 2$

Passaggio 3.4.2.1.2

Somma $1$ e $2$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Passaggio 3.5

Elenca tutte le soluzioni.

$A = 3, B = - 2$

Passaggio 4

Sostituisci ogni coefficiente della frazione parziale in $\frac{A}{x + 8} + \frac{B}{x + 16}$ con i valori trovati per $A$ e $B$ .

$\frac{3}{x + 8} + \frac{- 2}{x + 16}$