Trigonometria Esempi

$f (x) = \sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$

Passaggio 1

Imposta il radicando in $\sqrt{\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}}$ in modo che sia maggiore o uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è definita.

$\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)} \geq 0$

Passaggio 2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova tutti i valori in cui l'espressione passa da negativa a positiva ponendo ciascun fattore uguale a $0$ e risolvendo.

$1 + \sin (x) = 0$

$1 - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (x) = - 1$

Passaggio 2.3

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - 1$

Passaggio 2.4

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.4.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 2.5

Risolvi per ogni fattore per trovare i valori in cui l'espressione con valore assoluto passa da negativa a positiva.

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Passaggio 2.6

Consolida le soluzioni.

$\sin (x) = - 1, 1$

Passaggio 2.7

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\sin (x) = - 1$

$\sin (x) = 1$

Passaggio 2.8

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (- 1)$

Passaggio 2.8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (- 1)$ è $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.8.3

La funzione del seno è positiva nel terzo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai la soluzione da $2 π$ per trovare un angolo di riferimento. Poi, somma l'angolo di riferimento a $π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Passaggio 2.8.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Passaggio 2.8.4.2

L'angolo risultante di $\frac{3 π}{2}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.8.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.8.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.8.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{2}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Passaggio 2.8.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.8.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.3.1

$2 π$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.8.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.8.6.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.6.4.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 2.8.6.4.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.8.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 2.8.7

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.9

Risolvi per $x$ in $\sin (x) = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 2.9.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.2.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.9.3

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.9.4

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.9.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.9.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.9.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.4.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 2.9.4.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.9.5

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.9.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.9.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.9.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.9.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.9.6

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.10

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.11

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.12

Trova il dominio di $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.1

Imposta il denominatore in $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 - \sin (x) = 0$

Passaggio 2.12.2

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - 1$

Passaggio 2.12.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.12.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.12.2.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 2.12.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 2.12.2.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 2.12.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.12.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.12.2.6

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.12.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.6.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 2.12.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 2.12.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 2.12.2.6.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 2.12.2.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.12.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 2.12.2.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 2.12.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 2.12.2.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 2.12.2.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.12.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.13

Usa ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$

Passaggio 2.14

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 3$

Passaggio 2.14.1.2

Sostituisci $x$ con $3$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1 + \sin (3)}{1 - \sin (3)} \geq 0$

Passaggio 2.14.1.3

Il lato sinistro di $1.32861403$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.14.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.14.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 6$

Passaggio 2.14.2.2

Sostituisci $x$ con $6$ nella diseguaglianza originale.

$\frac{1 + \sin (6)}{1 - \sin (6)} \geq 0$

Passaggio 2.14.2.3

Il lato sinistro di $0.56321382$ è maggiore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

Vero

Passaggio 2.14.3

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vero

$\frac{π}{2} < x < \frac{3 π}{2}$ Vero

$\frac{3 π}{2} < x < \frac{5 π}{2}$ Vero

Passaggio 2.15

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{2} + 2 π n < x \leq \frac{3 π}{2} + 2 π n$ o $\frac{3 π}{2} + 2 π n \leq x \leq \frac{5 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 2.16

Combina gli intervalli.

$N o (Min i m u m) \leq x \leq N o (Max i m u m)$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 3

Imposta il denominatore in $\frac{1 + \sin (x)}{1 - \sin (x)}$ in modo che sia uguale a $0$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$1 - \sin (x) = 0$

Passaggio 4

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- \sin (x) = - 1$

Passaggio 4.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \sin (x) = - 1$ .

$\frac{- \sin (x)}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\sin (x)}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.2.2

Dividi $\sin (x)$ per $1$ .

$\sin (x) = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$\sin (x) = 1$

Passaggio 4.3

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (1)$

Passaggio 4.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Il valore esatto di $\arcsin (1)$ è $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6

Semplifica $π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 4.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 4.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.3.1

Sposta $2$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π - π}{2}$

Passaggio 4.6.3.2

Sottrai $π$ da $2 π$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 4.7

Trova il periodo di $\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.7.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.7.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.8

Il periodo della funzione $\sin (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

Notazione intensiva:

${x | x \neq \frac{π}{2} + 2 π n}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 6