Trigonometria Esempi

$\tan (- \frac{π}{12})$

Passaggio 1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\tan (\frac{23 π}{12})$

Passaggio 2

Il valore esatto di $\tan (\frac{23 π}{12})$ è $- 2 + \sqrt{3}$ .

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Passaggio 2.1

Applica l'angolo di riferimento trovando l'angolo con valori trigonometrici equivalenti nel primo quadrante. Rendi negativa l'espressione, perché la tangente è negativa nel quarto quadrante.

$- \tan (\frac{π}{12})$

Passaggio 2.2

Dividi $\frac{π}{12}$ in due angoli in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti.

$- \tan (\frac{π}{4} - \frac{π}{6})$

Passaggio 2.3

Applica le formule di sottrazione degli angoli.

$- \frac{\tan (\frac{π}{4}) - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Passaggio 2.4

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$- \frac{1 - \tan (\frac{π}{6})}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Passaggio 2.5

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + \tan (\frac{π}{4}) \tan (\frac{π}{6})}$

Passaggio 2.6

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{4})$ è $1$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \tan (\frac{π}{6})}$

Passaggio 2.7

Il valore esatto di $\tan (\frac{π}{6})$ è $\frac{\sqrt{3}}{3}$ .

$- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 2.8

Semplifica $- \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1.1

Moltiplica $\frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$ per $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{3}{3} \cdot \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3}}{1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3}})$

Passaggio 2.8.1.2

Combina.

$- \frac{3 (1 - \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 (1 + 1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.8.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 (- \frac{\sqrt{3}}{3})}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.8.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{\sqrt{3}}{3}$ nel numeratore.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.8.3.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 \cdot 1 + 3 \frac{- \sqrt{3}}{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.8.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 \cdot 1 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 (1 \frac{\sqrt{3}}{3})}$

Passaggio 2.8.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 2.8.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.1

Moltiplica $3$ per $1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 2.8.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.5.2.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot 1$ .

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 (1) \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + 3 \cdot 1 \frac{\sqrt{3}}{3}}$

Passaggio 2.8.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$

Passaggio 2.8.6

Moltiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- (\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}} \cdot \frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}})$

Passaggio 2.8.7

Moltiplica $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 + \sqrt{3}}$ per $\frac{3 - \sqrt{3}}{3 - \sqrt{3}}$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{(3 + \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}$

Passaggio 2.8.8

Espandi il denominatore usando il metodo FOIL.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{9 - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 3 - {\sqrt{3}}^{2}}$

Passaggio 2.8.9

Semplifica.

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.10

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 2.8.10.1

Eleva $3 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.10.2

Eleva $3 - \sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1} {(3 - \sqrt{3})}^{1}}{6}$

Passaggio 2.8.10.3

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{1 + 1}}{6}$

Passaggio 2.8.10.4

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{{(3 - \sqrt{3})}^{2}}{6}$

Passaggio 2.8.11

Riscrivi ${(3 - \sqrt{3})}^{2}$ come $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ .

$- \frac{(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.12

Espandi $(3 - \sqrt{3}) (3 - \sqrt{3})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 2.8.12.1

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 (3 - \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.12.2

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} (3 - \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.12.3

Applica la proprietà distributiva.

$- \frac{3 \cdot 3 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.13

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 2.8.13.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.8.13.1.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{9 + 3 (- \sqrt{3}) - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.2

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} \cdot 3 - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} - \sqrt{3} (- \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.4

Moltiplica $- \sqrt{3} (- \sqrt{3})$ .

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Passaggio 2.8.13.1.4.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 1 \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.4.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + \sqrt{3} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.4.3

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.4.4

Eleva $\sqrt{3}$ alla potenza di $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1} {\sqrt{3}}^{1}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.4.5

Utilizza la regola per la potenza di una potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{1 + 1}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.4.6

Somma $1$ e $1$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {\sqrt{3}}^{2}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.5

Riscrivi ${\sqrt{3}}^{2}$ come $3$ .

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Passaggio 2.8.13.1.5.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{3}$ come $3^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.5.2

Applica la regola di potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.5.3

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.5.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 2.8.13.1.5.4.1

Elimina il fattore comune.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{\frac{2}{2}}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.5.4.2

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3^{1}}{6}$

Passaggio 2.8.13.1.5.5

Calcola l'esponente.

$- \frac{9 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3} + 3}{6}$

Passaggio 2.8.13.2

Somma $9$ e $3$ .

$- \frac{12 - 3 \sqrt{3} - 3 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.8.13.3

Sottrai $3 \sqrt{3}$ da $- 3 \sqrt{3}$ .

$- \frac{12 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.8.14

Elimina il fattore comune di $12 - 6 \sqrt{3}$ e $6$ .

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Passaggio 2.8.14.1

Scomponi $6$ da $12$ .

$- \frac{6 \cdot 2 - 6 \sqrt{3}}{6}$

Passaggio 2.8.14.2

Scomponi $6$ da $- 6 \sqrt{3}$ .

$- \frac{6 \cdot 2 + 6 (- \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.14.3

Scomponi $6$ da $6 (2) + 6 (- \sqrt{3})$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6}$

Passaggio 2.8.14.4

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.8.14.4.1

Scomponi $6$ da $6$ .

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 (1)}$

Passaggio 2.8.14.4.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{6 (2 - \sqrt{3})}{6 \cdot 1}$

Passaggio 2.8.14.4.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{2 - \sqrt{3}}{1}$

Passaggio 2.8.14.4.4

Dividi $2 - \sqrt{3}$ per $1$ .

$- (2 - \sqrt{3})$

Passaggio 2.8.15

Applica la proprietà distributiva.

$- 1 \cdot 2 - - \sqrt{3}$

Passaggio 2.8.16

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$- 2 - - \sqrt{3}$

Passaggio 2.8.17

Moltiplica $- - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 2.8.17.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 2 + 1 \sqrt{3}$

Passaggio 2.8.17.2

Moltiplica $\sqrt{3}$ per $1$ .

$- 2 + \sqrt{3}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- 2 + \sqrt{3}$

Forma decimale:

$- 0.26794919 \dots$