Trigonometria Esempi

$\cos (- \frac{π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 1.1

Aggiungi delle rotazioni complete di $2 π$ fino a quando l'angolo non è maggiore o uguale a $0$ e minore di $2 π$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{π}{8}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.2.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \cos (\frac{\frac{π}{4}}{2}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.2

Applica l'identità a mezzo angolo per il coseno $\cos (\frac{x}{2}) = \pm \sqrt{\frac{1 + \cos (x)}{2}}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}}) + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.3

Cambia $\pm$ in $+$ poiché il coseno è positivo nel primo quadrante.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \cos (\frac{π}{4})}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.4

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5

Semplifica $\sqrt{\frac{1 + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$ .

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Passaggio 1.2.5.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 + \sqrt{2}}{2}}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5.4

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.2.5.4.1

Moltiplica $\frac{2 + \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{2 \cdot 2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5.4.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5.5

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 + \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{4}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5.6

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.2.5.6.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.2.5.6.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (\frac{13 π}{7}) \frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.3

$\cos (\frac{13 π}{7})$ e $\frac{\sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{π}{8})$

Passaggio 1.4

Il valore esatto di $\sin (\frac{π}{8})$ è $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

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Passaggio 1.4.1

Riscrivi $\frac{π}{8}$ come un angolo in cui i valori delle sei funzioni trigonometriche sono noti e che è diviso per $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sin (\frac{\frac{π}{4}}{2})$

Passaggio 1.4.2

Applica la formula di bisezione per il seno.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) (\pm \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}})$

Passaggio 1.4.3

Cambia $\pm$ in $+$ , poiché il seno è positivo nel primo quadrante.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$

Passaggio 1.4.4

Semplifica $\sqrt{\frac{1 - \cos (\frac{π}{4})}{2}}$ .

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Passaggio 1.4.4.1

Il valore esatto di $\cos (\frac{π}{4})$ è $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{1 - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.4.4.2

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.4.4.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{\frac{2 - \sqrt{2}}{2}}{2}}$

Passaggio 1.4.4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}}$

Passaggio 1.4.4.5

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2}$ .

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Passaggio 1.4.4.5.1

Moltiplica $\frac{2 - \sqrt{2}}{2}$ per $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{2 \cdot 2}}$

Passaggio 1.4.4.5.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$

Passaggio 1.4.4.6

Riscrivi $\sqrt{\frac{2 - \sqrt{2}}{4}}$ come $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 1.4.4.7

Semplifica il denominatore.

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Passaggio 1.4.4.7.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 1.4.4.7.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \sin (\frac{π}{7}) \frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 1.5

$\sin (\frac{π}{7})$ e $\frac{\sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$ .

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}}}{2} + \frac{\sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Passaggio 3

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{\cos (\frac{13 π}{7}) \sqrt{2 + \sqrt{2}} + \sin (\frac{π}{7}) \sqrt{2 - \sqrt{2}}}{2}$

Forma decimale:

$0.99842681 \dots$