Trigonometria Esempi

$\cot (3 x) < 0$

Passaggio 1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della cotangente presente nell'equazione assegnata.

$3 x < arccot (0)$

Passaggio 2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Il valore esatto di $arccot (0)$ è $\frac{π}{2}$ .

$3 x < \frac{π}{2}$

Passaggio 3

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x < \frac{π}{2}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x < \frac{π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x < \frac{\frac{π}{2}}{3}$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x < \frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{2} \cdot \frac{1}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{2}$ per $\frac{1}{3}$ .

$x < \frac{π}{2 \cdot 3}$

Passaggio 3.3.2.2

Moltiplica $2$ per $3$ .

$x < \frac{π}{6}$

Passaggio 4

La funzione cotangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$3 x = π + \frac{π}{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.1.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$3 x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.1.2

$π$ e $\frac{2}{2}$ .

$3 x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Passaggio 5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$3 x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Passaggio 5.1.4

Somma $π \cdot 2$ e $π$ .

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Passaggio 5.1.4.1

Riordina $π$ e $2$ .

$3 x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Passaggio 5.1.4.2

Somma $2 \cdot π$ e $π$ .

$3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$

Passaggio 5.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = \frac{3 \cdot π}{2}$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Passaggio 5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{3 \cdot π}{2}}{3}$

Passaggio 5.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{3 \cdot π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.2.3.2.1

Scomponi $3$ da $3 \cdot π$ .

$x = \frac{3 (π)}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{3 π}{2} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 6

Trova il periodo di $\cot (3 x)$ .

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Passaggio 6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 6.2

Sostituisci $b$ con $3$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 3 |}$

Passaggio 6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$\frac{π}{3}$

Passaggio 7

Il periodo della funzione $\cot (3 x)$ è $\frac{π}{3}$ , quindi i valori si ripetono ogni $\frac{π}{3}$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}, \frac{π}{2} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Trova il dominio di $\cot (3 x)$ .

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Passaggio 9.1

Imposta l'argomento in $\cot (3 x)$ in modo che sia uguale a $π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$3 x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9.2

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = π n$ e semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Dividi per $3$ ciascun termine in $3 x = π n$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Passaggio 9.2.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 9.2.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 x}{3} = \frac{π n}{3}$

Passaggio 9.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{π n}{3}$

Passaggio 9.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x \neq \frac{π n}{3}}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$0 < x < \frac{π}{6}$

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$

Passaggio 11

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 11.1

Testa un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{6}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $0 < x < \frac{π}{6}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 0.26$

Passaggio 11.1.2

Sostituisci $x$ con $0.26$ nella diseguaglianza originale.

$\cot (3 (0.26)) < 0$

Passaggio 11.1.3

Il lato sinistro di $1.01085502$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 11.2.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\cot (3 (1)) < 0$

Passaggio 11.2.3

Il lato sinistro di $- 7.01525255$ è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 11.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 11.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1.31$

Passaggio 11.3.2

Sostituisci $x$ con $1.31$ nella diseguaglianza originale.

$\cot (3 (1.31)) < 0$

Passaggio 11.3.3

Il lato sinistro di $0.99399967$ non è minore del lato destro di $0$ ; ciò significa che l'affermazione data è falsa.

False

Passaggio 11.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$0 < x < \frac{π}{6}$ Falso

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

$0 < x < \frac{π}{6}$ Falso

$\frac{π}{6} < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < \frac{π}{2}$ Falso

Passaggio 12

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{6} + \frac{π n}{3} < x < \frac{π}{3} + \frac{π n}{3}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13