Trigonometria Esempi

$\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$

Passaggio 1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 1.1

Utilizza la proprietà del prodotto dei logaritmi, $\log_{b} (x) + \log_{b} (y) = \log_{b} (x y)$ .

$\log (5 x (x - 2)) = 2$

Passaggio 1.2

Applica la proprietà distributiva.

$\log (5 x \cdot x + 5 x \cdot - 2) = 2$

Passaggio 1.3

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 1.3.1

Sposta $x$ .

$\log (5 (x \cdot x) + 5 x \cdot - 2) = 2$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\log (5 x^{2} + 5 x \cdot - 2) = 2$

Passaggio 1.4

Moltiplica $- 2$ per $5$ .

$\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$

Passaggio 2

Riscrivi $\log (5 x^{2} - 10 x) = 2$ in forma esponenziale usando la definizione di logaritmo. Se $x$ e $b$ sono numeri reali positivi e $b \neq 1$ , allora $\log_{b} (x) = y$ è equivalente a $b^{y} = x$ .

$10^{2} = 5 x^{2} - 10 x$

Passaggio 3

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Riscrivi l'equazione come $5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$ .

$5 x^{2} - 10 x = 10^{2}$

Passaggio 3.2

Eleva $10$ alla potenza di $2$ .

$5 x^{2} - 10 x = 100$

Passaggio 3.3

Sottrai $100$ da entrambi i lati dell'equazione.

$5 x^{2} - 10 x - 100 = 0$

Passaggio 3.4

Scomponi $5$ da $5 x^{2} - 10 x - 100$ .

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Passaggio 3.4.1

Scomponi $5$ da $5 x^{2}$ .

$5 (x^{2}) - 10 x - 100 = 0$

Passaggio 3.4.2

Scomponi $5$ da $- 10 x$ .

$5 (x^{2}) + 5 (- 2 x) - 100 = 0$

Passaggio 3.4.3

Scomponi $5$ da $- 100$ .

$5 x^{2} + 5 (- 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Passaggio 3.4.4

Scomponi $5$ da $5 x^{2} + 5 (- 2 x)$ .

$5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20 = 0$

Passaggio 3.4.5

Scomponi $5$ da $5 (x^{2} - 2 x) + 5 \cdot - 20$ .

$5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$

Passaggio 3.5

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ e semplifica.

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Passaggio 3.5.1

Dividi per $5$ ciascun termine in $5 (x^{2} - 2 x - 20) = 0$ .

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 3.5.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 3.5.2.1

Elimina il fattore comune di $5$ .

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Passaggio 3.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (x^{2} - 2 x - 20)}{5} = \frac{0}{5}$

Passaggio 3.5.2.1.2

Dividi $x^{2} - 2 x - 20$ per $1$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = \frac{0}{5}$

Passaggio 3.5.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 3.5.3.1

Dividi $0$ per $5$ .

$x^{2} - 2 x - 20 = 0$

Passaggio 3.6

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 3.7

Sostituisci i valori $a = 1$ , $b = - 2$ e $c = - 20$ nella formula quadratica e risolvi per $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot - 20)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8

Semplifica.

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Passaggio 3.8.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.8.1.1

Eleva $- 2$ alla potenza di $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot 1 \cdot - 20$ .

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Passaggio 3.8.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot - 20}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.2.2

Moltiplica $- 4$ per $- 20$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 80}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.3

Somma $4$ e $80$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{84}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.4

Riscrivi $84$ come $2^{2} \cdot 21$ .

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Passaggio 3.8.1.4.1

Scomponi $4$ da $84$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 (21)}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2 \cdot 1}$

Passaggio 3.8.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$

Passaggio 3.8.3

Semplifica $\frac{2 \pm 2 \sqrt{21}}{2}$ .

$x = 1 \pm \sqrt{21}$

Passaggio 3.9

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$x = 1 + \sqrt{21}, 1 - \sqrt{21}$

Passaggio 4

Escludi le soluzioni che non rendono $\log (5 x) + \log (x - 2) = 2$ vera.

$x = 1 + \sqrt{21}$

Passaggio 5

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$x = 1 + \sqrt{21}$

Forma decimale:

$x = 5.58257569 \dots$