Trigonometria Esempi

$\tan (x) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (x)} < 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 1

Sostituisci $\tan (x)$ per $u$ .

$(u) + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 2

Trova il minimo comune denominatore dei termini nell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trovare il minimo comune denominatore di una lista di valori è uguale a trovare il minimo comune multiplo dei denominatori di quei valori.

$1, u, 1, 1$

Passaggio 2.2

Il minimo comune multiplo di uno e qualsiasi espressione è l'espressione.

$u$

Passaggio 3

Moltiplica per $u$ ciascun termine in $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ per eliminare le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Moltiplica ogni termine in $u + \frac{\sqrt{3}}{u} < 1 + \sqrt{3}$ per $u$ .

$u \cdot u + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Passaggio 3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Moltiplica $u$ per $u$ .

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Passaggio 3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$u^{2} + \frac{\sqrt{3}}{u} u < 1 u + \sqrt{3} u$

Passaggio 3.2.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$u^{2} + \sqrt{3} < 1 u + \sqrt{3} u$

Passaggio 3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Moltiplica $u$ per $1$ .

$u^{2} + \sqrt{3} < u + \sqrt{3} u$

Passaggio 4

Risolvi la diseguaglianza.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Riscrivi in modo che $u$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$u + \sqrt{3} u > u^{2} + \sqrt{3}$

Passaggio 4.2

Sottrai $u^{2}$ da entrambi i lati della diseguaglianza.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} > \sqrt{3}$

Passaggio 4.3

Converti la diseguaglianza in un'equazione.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} = \sqrt{3}$

Passaggio 4.4

Sottrai $\sqrt{3}$ da entrambi i lati dell'equazione.

$u + \sqrt{3} u - u^{2} - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 4.5

Scomponi il primo membro dell'equazione.

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Passaggio 4.5.1

Riordina i termini.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 4.5.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$- u^{2} + u + u \sqrt{3} - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 4.5.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$u (- u + 1) - \sqrt{3} (- u + 1) = 0$

Passaggio 4.5.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $- u + 1$ .

$(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$

Passaggio 4.6

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$- u + 1 = 0$

$u - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 4.7

Imposta $- u + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Imposta $- u + 1$ uguale a $0$ .

$- u + 1 = 0$

Passaggio 4.7.2

Risolvi $- u + 1 = 0$ per $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- u = - 1$

Passaggio 4.7.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- u = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- u = - 1$ .

$\frac{- u}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{u}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.7.2.2.2.2

Dividi $u$ per $1$ .

$u = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 4.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$u = 1$

Passaggio 4.8

Imposta $u - \sqrt{3}$ uguale a $0$ e risolvi per $u$ .

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Passaggio 4.8.1

Imposta $u - \sqrt{3}$ uguale a $0$ .

$u - \sqrt{3} = 0$

Passaggio 4.8.2

Somma $\sqrt{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$u = \sqrt{3}$

Passaggio 4.9

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $(- u + 1) (u - \sqrt{3}) = 0$ vera.

$u = 1, \sqrt{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $u$ per $\tan (x)$ .

$\tan (x) = 1, \sqrt{3}$

Passaggio 6

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\tan (x) = 1$

$\tan (x) = \sqrt{3}$

Passaggio 7

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = 1$ .

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Passaggio 7.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (1)$

Passaggio 7.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 7.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.4

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 7.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 7.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 7.4.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 7.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 7.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 7.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 7.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 7.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 8

Risolvi per $x$ in $\tan (x) = \sqrt{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$x = \arctan (\sqrt{3})$

Passaggio 8.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Il valore esatto di $\arctan (\sqrt{3})$ è $\frac{π}{3}$ .

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 8.3

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = π + \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4

Semplifica $π + \frac{π}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$x = π \cdot \frac{3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.2.1

$π$ e $\frac{3}{3}$ .

$x = \frac{π \cdot 3}{3} + \frac{π}{3}$

Passaggio 8.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 3 + π}{3}$

Passaggio 8.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.4.3.1

Sposta $3$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{3 \cdot π + π}{3}$

Passaggio 8.4.3.2

Somma $3 π$ e $π$ .

$x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 8.5

Trova il periodo di $\tan (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 8.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 8.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 8.5.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 8.6

Il periodo della funzione $\tan (x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 9

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10

Consolida le soluzioni.

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Passaggio 10.1

Combina $\frac{π}{4} + π n$ e $\frac{5 π}{4} + π n$ in $\frac{π}{4} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 10.2

Combina $\frac{π}{3} + π n$ e $\frac{4 π}{3} + π n$ in $\frac{π}{3} + π n$ .

$x = \frac{π}{4} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Trova il dominio di $\tan (x) + \sqrt{3} \cot (x) - 1 - \sqrt{3}$ .

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Passaggio 11.1

Imposta l'argomento in $\tan (x)$ in modo che sia uguale a $\frac{π}{2} + π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11.2

Imposta l'argomento in $\cot (x)$ in modo che sia uguale a $π n$ per individuare dove l'espressione è indefinita.

$x = π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11.3

Il dominio è formato da tutti i valori di $x$ che rendono definita l'espressione.

${x | x \neq \frac{π}{2} + π n, x \neq π n}$ $n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$

Passaggio 13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 13.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 1$

Passaggio 13.1.2

Sostituisci $x$ con $1$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (1) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (1)} < 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 13.1.3

Il lato sinistro di $2.66954475$ è minore del lato destro di $2.7320508$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.2

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.2.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 2$

Passaggio 13.2.2

Sostituisci $x$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (2) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (2)} < 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 13.2.3

Il lato sinistro di $- 2.97772599$ è minore del lato destro di $2.7320508$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.3

Testa un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.3.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$x = 4$

Passaggio 13.3.2

Sostituisci $x$ con $4$ nella diseguaglianza originale.

$\tan (4) + \frac{\sqrt{3}}{\tan (4)} < 1 + \sqrt{3}$

Passaggio 13.3.3

Il lato sinistro di $2.65377824$ è minore del lato destro di $2.7320508$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.4

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Vero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Vero

$\frac{π}{4} < x < \frac{π}{3}$ Vero

$\frac{π}{3} < x < \frac{5 π}{4}$ Vero

$\frac{5 π}{4} < x < \frac{4 π}{3}$ Vero

Passaggio 14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n$ or $\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n$ or $\frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , for any integer $n$

Passaggio 15

Combina gli intervalli.

$\frac{π}{3} + π n < x < \frac{5 π}{4} + π n or \frac{π}{4} + π n < x < \frac{π}{3} + π n or \frac{5 π}{4} + π n < x < \frac{4 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 16