Trigonometria Esempi

$\cos (a) < \sin (a)$

Passaggio 1

Dividi per $\cos (a)$ ciascun termine dell'equazione.

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $\cos (a)$ .

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Passaggio 2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{\cos (a)}{\cos (a)} < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Passaggio 2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 < \frac{\sin (a)}{\cos (a)}$

Passaggio 3

Converti da $\frac{\sin (a)}{\cos (a)}$ a $\tan (a)$ .

$1 < \tan (a)$

Passaggio 4

Riscrivi in modo che $\tan (a)$ sia sul lato sinistro della diseguaglianza.

$\tan (a) > 1$

Passaggio 5

Trova il valore dell'incognita $a$ corrispondente all'inverso della tangente nell'equazione assegnata.

$a > \arctan (1)$

Passaggio 6

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.1

Il valore esatto di $\arctan (1)$ è $\frac{π}{4}$ .

$a > \frac{π}{4}$

Passaggio 7

La funzione tangente è positiva nel primo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, aggiungi l'angolo di riferimento da $π$ per determinare la soluzione nel quarto quadrante.

$a = π + \frac{π}{4}$

Passaggio 8

Semplifica $π + \frac{π}{4}$ .

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Passaggio 8.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$a = π \cdot \frac{4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 8.2

Riduci le frazioni.

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Passaggio 8.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$a = \frac{π \cdot 4}{4} + \frac{π}{4}$

Passaggio 8.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$a = \frac{π \cdot 4 + π}{4}$

Passaggio 8.3

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 8.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$a = \frac{4 \cdot π + π}{4}$

Passaggio 8.3.2

Somma $4 π$ e $π$ .

$a = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 9

Trova il periodo di $\tan (a)$ .

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Passaggio 9.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Passaggio 9.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{π}{| 1 |}$

Passaggio 9.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{π}{1}$

Passaggio 9.4

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 10

Il periodo della funzione $\tan (a)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$a = \frac{π}{4} + π n, \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 11

Consolida le risposte.

$a = \frac{π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Utilizza ogni radice per creare gli intervalli di prova.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$

Passaggio 13

Scegli un valore di test da ciascun intervallo e sostituiscilo nella diseguaglianza originale per determinare quali intervalli sono soddisfatti dalla diseguaglianza.

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Passaggio 13.1

Testa un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ per verificare se rende vera la diseguaglianza.

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Passaggio 13.1.1

Scegli un valore sull'intervallo $\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ e verifica se soddisfa la diseguaglianza originale.

$a = 2$

Passaggio 13.1.2

Sostituisci $a$ con $2$ nella diseguaglianza originale.

$\cos (2) < \sin (2)$

Passaggio 13.1.3

Il lato sinistro di $- 0.41614683$ è minore del lato destro di $0.90929742$ ; ciò significa che l'affermazione data è sempre vera.

True

Passaggio 13.2

Confronta gli intervalli per determinare quali soddisfano la diseguaglianza originale.

$\frac{π}{4} < a < \frac{5 π}{4}$ Vero

Passaggio 14

La soluzione è costituita da tutti gli intervalli veri.

$\frac{π}{4} + π n < a < \frac{5 π}{4} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 15