Trigonometria Esempi

$\csc^{5} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Passaggio 1

Fattorizza $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

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Passaggio 1.1

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc^{5} (x) - 4 \csc (x)$ .

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Passaggio 1.1.1

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc^{5} (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) - 4 \csc (x) = 0$

Passaggio 1.1.2

Scomponi $\csc (x)$ da $- 4 \csc (x)$ .

$\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4 = 0$

Passaggio 1.1.3

Scomponi $\csc (x)$ da $\csc (x) \csc^{4} (x) + \csc (x) \cdot - 4$ .

$\csc (x) (\csc^{4} (x) - 4) = 0$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\csc^{4} (x)$ come ${(\csc^{2} (x))}^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 4) = 0$

Passaggio 1.3

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\csc (x) ({(\csc^{2} (x))}^{2} - 2^{2}) = 0$

Passaggio 1.4

Scomponi.

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Passaggio 1.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza utilizzando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = \csc^{2} (x)$ e $b = 2$ .

$\csc (x) ((\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2)) = 0$

Passaggio 1.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$

Passaggio 2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$\csc (x) = 0$

$\csc^{2} (x) + 2 = 0$

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Passaggio 3

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 3.1

Imposta $\csc (x)$ uguale a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Passaggio 3.2

L'intervallo della cosecante è $y \leq - 1$ e $y \geq 1$ . Poiché $0$ non cade nell'intervallo, non esiste soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 4

Imposta $\csc^{2} (x) - 2$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

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Passaggio 4.1

Imposta $\csc^{2} (x) - 2$ uguale a $0$ .

$\csc^{2} (x) - 2 = 0$

Passaggio 4.2

Risolvi $\csc^{2} (x) - 2 = 0$ per $x$ .

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Passaggio 4.2.1

Somma $2$ a entrambi i lati dell'equazione.

$\csc^{2} (x) = 2$

Passaggio 4.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$\csc (x) = \pm \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

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Passaggio 4.2.3.1

Per prima cosa, utilizza il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\csc (x) = \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.3.2

Ora, utilizza il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.3.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\csc (x) = \sqrt{2}, - \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.4

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\csc (x) = \sqrt{2}$

$\csc (x) = - \sqrt{2}$

Passaggio 4.2.5

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = \sqrt{2}$ .

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Passaggio 4.2.5.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (\sqrt{2})$

Passaggio 4.2.5.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.5.2.1

Il valore esatto di $arccsc (\sqrt{2})$ è $\frac{π}{4}$ .

$x = \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.5.3

La funzione della cosecante è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.5.4

Semplifica $π - \frac{π}{4}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.4.1

Per scrivere $π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x = π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.5.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.4.2.1

$π$ e $\frac{4}{4}$ .

$x = \frac{π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.5.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 4.2.5.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.4.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $π$ .

$x = \frac{4 \cdot π - π}{4}$

Passaggio 4.2.5.4.3.2

Sottrai $π$ da $4 π$ .

$x = \frac{3 π}{4}$

Passaggio 4.2.5.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.5.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.5.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.5.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.5.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.5.6

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.6

Risolvi per $x$ in $\csc (x) = - \sqrt{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.1

Trova la cosecante inversa di entrambi i lati dell'equazione per estrarre $x$ dalla cosecante.

$x = arccsc (- \sqrt{2})$

Passaggio 4.2.6.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 4.2.6.2.1

Il valore esatto di $arccsc (- \sqrt{2})$ è $- \frac{π}{4}$ .

$x = - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.3

The cosecant function is negative in the third and fourth quadrants. To find the second solution, subtract the solution from $2 π$ , to find a reference angle. Next, add this reference angle to $π$ to find the solution in the third quadrant.

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π$

Passaggio 4.2.6.4

Semplifica l'espressione per trovare la seconda soluzione.

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Passaggio 4.2.6.4.1

Sottrai $2 π$ da $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{4} + π - 2 π$

Passaggio 4.2.6.4.2

L'angolo risultante di $\frac{5 π}{4}$ è positivo, minore di $2 π$ e coterminale con $2 π + \frac{π}{4} + π$ .

$x = \frac{5 π}{4}$

Passaggio 4.2.6.5

Trova il periodo di $\csc (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 4.2.6.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 4.2.6.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 4.2.6.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 4.2.6.6

Somma $2 π$ a ogni angolo negativo per ottenere gli angoli positivi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.6.1

Somma $2 π$ a $- \frac{π}{4}$ per trovare l'angolo positivo.

$- \frac{π}{4} + 2 π$

Passaggio 4.2.6.6.2

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$2 π \cdot \frac{4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.6.3

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.6.6.3.1

$2 π$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{2 π \cdot 4}{4} - \frac{π}{4}$

Passaggio 4.2.6.6.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 π \cdot 4 - π}{4}$

Passaggio 4.2.6.6.4

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.2.6.6.4.1

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{8 π - π}{4}$

Passaggio 4.2.6.6.4.2

Sottrai $π$ da $8 π$ .

$\frac{7 π}{4}$

Passaggio 4.2.6.6.5

Fai un elenco dei nuovi angoli.

$x = \frac{7 π}{4}$

Passaggio 4.2.6.7

Il periodo della funzione $\csc (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.7

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{4} + 2 π n, \frac{3 π}{4} + 2 π n, \frac{5 π}{4} + 2 π n, \frac{7 π}{4} + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 4.2.8

Consolida le risposte.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $\csc (x) (\csc^{2} (x) + 2) (\csc^{2} (x) - 2) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{4} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$