Trigonometria Esempi

$\sin^{2} (2 x) = 3 \cos^{2} (2 x)$

Passaggio 1

Sottrai $3 \cos^{2} (2 x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin^{2} (2 x) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 2

Sostituisci $\sin^{2} (2 x)$ con $1 - \cos^{2} (2 x)$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$(1 - \cos^{2} (2 x)) - 3 \cos^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 3

Sottrai $3 \cos^{2} (2 x)$ da $- \cos^{2} (2 x)$ .

$1 - 4 \cos^{2} (2 x) = 0$

Passaggio 4

Riordina il polinomio.

$- 4 \cos^{2} (2 x) + 1 = 0$

Passaggio 5

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$

Passaggio 6

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Dividi per $- 4$ ciascun termine in $- 4 \cos^{2} (2 x) = - 1$ .

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 6.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Elimina il fattore comune di $- 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 4 \cos^{2} (2 x)}{- 4} = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 6.2.1.2

Dividi $\cos^{2} (2 x)$ per $1$ .

$\cos^{2} (2 x) = \frac{- 1}{- 4}$

Passaggio 6.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.3.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\cos^{2} (2 x) = \frac{1}{4}$

Passaggio 7

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$\cos (2 x) = \pm \sqrt{\frac{1}{4}}$

Passaggio 8

Semplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Riscrivi $\sqrt{\frac{1}{4}}$ come $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}$

Passaggio 8.2

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{4}}$

Passaggio 8.3

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{\sqrt{2^{2}}}$

Passaggio 8.3.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$\cos (2 x) = \pm \frac{1}{2}$

Passaggio 9

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 9.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 9.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (2 x) = \frac{1}{2}$

$\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\cos (2 x) = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (\frac{1}{2})$

Passaggio 11.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Il valore esatto di $\arccos (\frac{1}{2})$ è $\frac{π}{3}$ .

$2 x = \frac{π}{3}$

Passaggio 11.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 11.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 11.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{π}{3}}{2}$

Passaggio 11.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 11.3.3.2

Moltiplica $\frac{π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.3.3.2.1

Moltiplica $\frac{π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 11.3.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 11.4

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{π}{3}$

Passaggio 11.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 11.5.1.2

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Passaggio 11.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Passaggio 11.5.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x = \frac{6 π - π}{3}$

Passaggio 11.5.1.5

Sottrai $π$ da $6 π$ .

$2 x = \frac{5 π}{3}$

Passaggio 11.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{5 π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Passaggio 11.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Passaggio 11.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{5 π}{3}}{2}$

Passaggio 11.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 11.5.2.3.2

Moltiplica $\frac{5 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.5.2.3.2.1

Moltiplica $\frac{5 π}{3}$ per $\frac{1}{2}$ .

$x = \frac{5 π}{3 \cdot 2}$

Passaggio 11.5.2.3.2.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 11.6

Trova il periodo di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 11.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 11.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 11.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 11.6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 11.7

Il periodo della funzione $\cos (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\cos (2 x) = - \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$2 x = \arccos (- \frac{1}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.2.1

Il valore esatto di $\arccos (- \frac{1}{2})$ è $\frac{2 π}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.3

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{2 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{2 π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 12.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 12.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{2 π}{3}}{2}$

Passaggio 12.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.3.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2 π$ .

$x = \frac{2 (π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{π}{3}$

Passaggio 12.4

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$2 x = 2 π - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.5

Risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.1.1

Per scrivere $2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$2 x = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.5.1.2

$2 π$ e $\frac{3}{3}$ .

$2 x = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.5.1.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$2 x = \frac{2 π \cdot 3 - 2 π}{3}$

Passaggio 12.5.1.4

Moltiplica $3$ per $2$ .

$2 x = \frac{6 π - 2 π}{3}$

Passaggio 12.5.1.5

Sottrai $2 π$ da $6 π$ .

$2 x = \frac{4 π}{3}$

Passaggio 12.5.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{4 π}{3}$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = \frac{4 π}{3}$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{\frac{4 π}{3}}{2}$

Passaggio 12.5.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.3.1

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$x = \frac{4 π}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.5.2.3.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.5.2.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 π$ .

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.5.2.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$x = \frac{2 (2 π)}{3} \cdot \frac{1}{2}$

Passaggio 12.5.2.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$x = \frac{2 π}{3}$

Passaggio 12.6

Trova il periodo di $\cos (2 x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.6.2

Sostituisci $b$ con $2$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 2 |}$

Passaggio 12.6.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $2$ è $2$ .

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 12.6.4

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.6.4.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 π}{2}$

Passaggio 12.6.4.2

Dividi $π$ per $1$ .

$π$

Passaggio 12.7

Il periodo della funzione $\cos (2 x)$ è $π$ , quindi i valori si ripetono ogni $π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = \frac{π}{6} + π n, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n, \frac{2 π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14

Consolida le soluzioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 14.1

Combina $\frac{π}{6} + π n$ e $\frac{2 π}{3} + π n$ in $\frac{π}{6} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{5 π}{6} + π n, \frac{π}{3} + π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 14.2

Combina $\frac{5 π}{6} + π n$ e $\frac{π}{3} + π n$ in $\frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ .

$x = \frac{π}{6} + \frac{π n}{2}, \frac{π}{3} + \frac{π n}{2}$ , per qualsiasi intero $n$