Trigonometria Esempi

$2 \sin^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 1

Sostituisci $2 \sin^{2} (x)$ con $2 (1 - \cos^{2} (x))$ in base all'identità $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$2 (1 - \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 2.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 \cdot 1 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + 2 (- \cos^{2} (x)) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 2.3

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$2 - 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 1 = 0$

Passaggio 3

Somma $2$ e $1$ .

$- 2 \cos^{2} (x) - 6 \cos (x) + 3 = 0$

Passaggio 4

Sostituisci $\cos (x)$ per $u$ .

$- 2 {(u)}^{2} - 6 u + 3 = 0$

Passaggio 5

Utilizza la formula quadratica per trovare le soluzioni.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Passaggio 6

Sostituisci i valori $a = - 2$ , $b = - 6$ e $c = 3$ nella formula quadratica e risolvi per $u$ .

$\frac{6 \pm \sqrt{{(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 2 \cdot 3)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 7.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 4 \cdot - 2 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.2

Moltiplica $- 4 \cdot - 2 \cdot 3$ .

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Passaggio 7.1.2.1

Moltiplica $- 4$ per $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 8 \cdot 3}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.2.2

Moltiplica $8$ per $3$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{36 + 24}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.3

Somma $36$ e $24$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.4

Riscrivi $60$ come $2^{2} \cdot 15$ .

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Passaggio 7.1.4.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{4 (15)}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.4.2

Riscrivi $4$ come $2^{2}$ .

$u = \frac{6 \pm \sqrt{2^{2} \cdot 15}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.1.5

Estrai i termini dal radicale.

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{2 \cdot - 2}$

Passaggio 7.2

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$u = \frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$

Passaggio 7.3

Semplifica $\frac{6 \pm 2 \sqrt{15}}{- 4}$ .

$u = \frac{3 \pm \sqrt{15}}{- 2}$

Passaggio 7.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$u = - \frac{3 \pm \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 8

La risposta finale è la combinazione di entrambe le soluzioni.

$u = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 9

Sostituisci $u$ per $\cos (x)$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}, - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 10

Imposta ognuna delle soluzioni per risolvere per $x$ .

$\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$

$\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$

Passaggio 11

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ .

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Passaggio 11.1

L'intervallo del coseno è $- 1 \leq y \leq 1$ . Dato che $- \frac{3 + \sqrt{15}}{2}$ non rientra nell'intervallo, non c'è soluzione.

Nessuna soluzione

Passaggio 12

Risolvi per $x$ in $\cos (x) = - \frac{3 - \sqrt{15}}{2}$ .

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Passaggio 12.1

Trova il valore dell'incognita $x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$

Passaggio 12.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 12.2.1

Calcola $\arccos (- \frac{3 - \sqrt{15}}{2})$ .

$x = 1.11910076$

Passaggio 12.3

La funzione coseno è negativa nel secondo e nel terzo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da $2 π$ per trovare la soluzione nel terzo quadrante.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Passaggio 12.4

Risolvi per $x$ .

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Passaggio 12.4.1

Rimuovi le parentesi.

$x = 2 (3.14159265) - 1.11910076$

Passaggio 12.4.2

Semplifica $2 (3.14159265) - 1.11910076$ .

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Passaggio 12.4.2.1

Moltiplica $2$ per $3.14159265$ .

$x = 6.2831853 - 1.11910076$

Passaggio 12.4.2.2

Sottrai $1.11910076$ da $6.2831853$ .

$x = 5.16408454$

Passaggio 12.5

Trova il periodo di $\cos (x)$ .

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Passaggio 12.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 12.5.2

Sostituisci $b$ con $1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 12.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 12.5.4

Dividi $2 π$ per $1$ .

$2 π$

Passaggio 12.6

Il periodo della funzione $\cos (x)$ è $2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni $2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$

Passaggio 13

Elenca tutte le soluzioni.

$x = 1.11910076 + 2 π n, 5.16408454 + 2 π n$ , per qualsiasi intero $n$