Trigonometria Esempi

$\sin (2 x) = \cos (x)$

Passaggio 1

Sottrai

$\cos (x)$ da entrambi i lati dell'equazione.

$\sin (2 x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 2

Applica l'identità a doppio angolo del seno.

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x) = 0$

Passaggio 3

Scomponi

$\cos (x)$ da

$2 \sin (x) \cos (x) - \cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Scomponi

$\cos (x)$ da

$2 \sin (x) \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) - \cos (x) = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi

$\cos (x)$ da

$- \cos (x)$ .

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1 = 0$

Passaggio 3.3

Scomponi

$\cos (x)$ da

$\cos (x) (2 \sin (x)) + \cos (x) \cdot - 1$ .

$\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$

Passaggio 4

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a

$0$ , l'intera espressione sarà uguale a

$0$ .

$\cos (x) = 0$

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 5

Imposta

$\cos (x)$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Imposta

$\cos (x)$ uguale a

$0$ .

$\cos (x) = 0$

Passaggio 5.2

Risolvi

$\cos (x) = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del coseno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arccos (0)$

Passaggio 5.2.2

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Il valore esatto di

$\arccos (0)$ è

$\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.3

La funzione del coseno è positiva nel primo e nel quarto quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$2 π$ per trovare la soluzione nel quarto quadrante.

$x = 2 π - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4

Semplifica

$2 π - \frac{π}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Per scrivere

$2 π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{2}{2}$ .

$x = 2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.2.1

$2 π$ e

$\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Passaggio 5.2.4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.3.1

Moltiplica

$2$ per

$2$ .

$x = \frac{4 π - π}{2}$

Passaggio 5.2.4.3.2

Sottrai

$π$ da

$4 π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Passaggio 5.2.5

Trova il periodo di

$\cos (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.5.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 5.2.5.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 5.2.5.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 5.2.5.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 5.2.6

Il periodo della funzione

$\cos (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 6

Imposta

$2 \sin (x) - 1$ uguale a

$0$ e risolvi per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Imposta

$2 \sin (x) - 1$ uguale a

$0$ .

$2 \sin (x) - 1 = 0$

Passaggio 6.2

Risolvi

$2 \sin (x) - 1 = 0$ per

$x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Somma

$1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 \sin (x) = 1$

Passaggio 6.2.2

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (x) = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividi per

$2$ ciascun termine in

$2 \sin (x) = 1$ .

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di

$2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \sin (x)}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.2.2.1.2

Dividi

$\sin (x)$ per

$1$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

Passaggio 6.2.3

Trova il valore dell'incognita

$x$ corrispondente all'inverso del seno presente nell'equazione assegnata.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.2.4

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.4.1

Il valore esatto di

$\arcsin (\frac{1}{2})$ è

$\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.5

La funzione del seno è positiva nel primo e nel secondo quadrante. Per trovare la seconda soluzione, sottrai l'angolo di riferimento da

$π$ per trovare la soluzione nel secondo quadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6

Semplifica

$π - \frac{π}{6}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.1

Per scrivere

$π$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per

$\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.2.1

$π$ e

$\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Passaggio 6.2.6.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.6.3.1

Sposta

$6$ alla sinistra di

$π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Passaggio 6.2.6.3.2

Sottrai

$π$ da

$6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Passaggio 6.2.7

Trova il periodo di

$\sin (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.7.1

Si può calcolare il periodo della funzione usando

$\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Passaggio 6.2.7.2

Sostituisci

$b$ con

$1$ nella formula per il periodo.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Passaggio 6.2.7.3

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra

$0$ e

$1$ è

$1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Passaggio 6.2.7.4

Dividi

$2 π$ per

$1$ .

$2 π$

Passaggio 6.2.8

Il periodo della funzione

$\sin (x)$ è

$2 π$ , quindi i valori si ripetono ogni

$2 π$ radianti in entrambe le direzioni.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 7

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono

$\cos (x) (2 \sin (x) - 1) = 0$ vera.

$x = \frac{π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$

Passaggio 8

Combina

$\frac{π}{2} + 2 π n$ e

$\frac{3 π}{2} + 2 π n$ in

$\frac{π}{2} + π n$ .

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , per qualsiasi intero

$n$